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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 8

Calcule a integral:

int [(1 2)/(x sqrt(x^2 - 1)) + (1 - x^4)/(1 + x^2)] d x

Passo 1

A primeira regra importante para a resolução dessa integral é que a Integral das somas (ou subtração) é a soma das integrais (ou subtração das integrais).

int [f (x) +- g (x)] = int f (x) d x +- int g (x) d x

Passo 2

A integral fornecida pelo problema é:

int [(12)/(x sqrt(x^2 - 1)) + (1 - x^4)/(1 + x^2)] d x

Aplicando a regra acima, reescrevemos a equação como:

int [(12)/(x sqrt(x^2 - 1)) + (1 - x^4)/(1 + x^2)] d x = int (12)/(x sqrt(x^2 - 1)) d x + int (1 - x^4)/(1 + x^2) d x

Retirando as constantes de dentro da integral:

int [(12)/(x sqrt(x^2 - 1)) + (1 - x^4)/(1 + x^2)] d x = 12 int (1)/(x sqrt(x^2 - 1)) d x + int (1 - x^4)/(1 + x^2) d x

Sabendo que 1 - x^4 = (1 - x^2) (1 + x^2) , podemos substituir na equação:

int [(12)/(x sqrt(x^2 - 1)) + (1 - x^4)/(1 + x^2)] d x = 12 int (1)/(x sqrt(x^2 - 1)) d x + int (( 1 - x^2 ) ( 1 + x^2 ))/(1 + x^2) d x

Cortando termos:

int [(12)/(x sqrt(x^2 - 1)) + (1 - x^4)/(1 + x^2)] d x = 12 int (1)/(x sqrt(x^2 - 1)) d x + int ( 1 - x^2 ) d x

De acordo com as derivadas de funções trigonométricas inversas, temos que : (d [sec^(- 1) ( x )])/(d x) = (1)/(x sqrt(x^2 - 1)) :

int [(12)/(x sqrt(x^2 - 1)) + (1 - x^4)/(1 + x^2)] d x = 12 sec^(- 1) ( x ) - (x^3)/(3) + x + C

Resposta

int [(12)/(x sqrt(x^2 - 1)) + (1 - x^4)/(1 + x^2)] d x = 12 sec^(- 1) ( x ) - (x^3)/(3) + x + C

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