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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.8 - Ex. 9

Use o teorema de Stokes para calcular ∫ C F → ⋅ d r → . Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

F → x , y , z = y z i → + 2 x z j → + ( e x y ) k → , C é a circunferência x 2 + y 2 = 16 , z = 5

Passo 1

Oi galera, tudo bem? A curva C está no disco x 2 + y 2 ≤ 16 , no plano z = 5 , e é orientada no sentido anti-horário quando S está para fora, na direção de n → = k → = ( 0,0 , 1 ) .

Passo 2

Legal! O próximo passo é determinar a região de integração. Fazendo z = 5 , a projeção no plano x y é um círculo de raio 4 . Em coordenadas polares temos x = r c o s θ e   y = r s e n ( θ ) e os limites vão ser:

0 ≤ r ≤ 4 0 ≤ θ ≤ 2 π

E o elemento de área vai ser: d A = r d r d θ

Passo 3

Legal! O próximo passo é determinar o rotacional de F → :

∇ × F → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z y z 2 x z e x y = i → ∂ ∂ y ( e x y ) - ∂ ∂ z ( 2 x z ) + j → ∂ ∂ z ( y z ) - ∂ ∂ x ( e x y ) + k → ∂ ∂ x ( 2 x z ) - ∂ ∂ y ( y z )

∇ × F → = x e x y - 2 x , y - y e x y , z

O produto escalar entre ∇ × F → e n → fica:

∇ × F → ⋅ n → = x e x y - 2 x , y - y e x y , z ⋅ 0,0 , 1 = z = 5

Passo 4

Agora é colocar tudo na integral:

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 4 5 r d r d θ = 5   ∫ 0 2 π r 2 2 0 4 d θ = 5 . 4 2 2 ∫ 0 2 π d θ = 5 . 4 2 2 . 2 π = 80 π

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = 80 π

Resposta

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = 80 π

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