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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 40

Calcule a integral fazendo a substituição que converte o integrando em uma função racional.

∫ e t e 2 t - 4 d t

Passo 1

Aqui, podemos usar a substituição x = e t e d x = e t d t :

Então :

∫ e t e 2 t - 4 d t = ∫ d x x 2 - 4 = ∫ d x x + 2 x - 2

Podemos reescrever na forma de frações parciais:

1 x + 2 x - 2 = A x + 2 + B x - 2 = A x - 2 + B ( x + 2 ) x + 2 x - 2

Como os denominadores são iguais, podemos dizer que:

1 = A x - 2 + B ( x + 2 )

Para encontrar B , podemos fazer x = 2 , então B = 1 4 .

Para encontrar A , usamos x = - 2 , então A = - 1 4 .

Substituindo na integral, temos:

∫ e t e 2 t - 4 d t = ∫ A x + 2 d x + ∫ B x - 2 d x

Substituindo os valores encontrados:

∫ e t e 2 t - 4 d t = - 1 4 ∫ 1 x + 2 d x + ∫ 1 x - 2 d x

∫ e t e 2 t - 4 d t = 1 4 ln ⁡ x - 2 - 1 4 ln ⁡ x - 2 + C = 1 4 ln ⁡ x - 2 x + 2 + C

Substituindo x = e t , temos:

∫ e t e 2 t - 4 d t = 1 4 ln ⁡ e t - 2 e t + 2 + C

Resposta

∫ e t e 2 t - 4 d t = 1 4 ln ⁡ e t - 2 e t + 2 + C

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