Questão 19. Calcule a integral indefinida

∫ x 2 s e n h x   d x

Passo 1

Entendendo o problema

  1. Note que se você usar a técnica de substituição (a mais simples e mais usada ) não resolve, além disso Note que o integrando   x 2 s e n h x " não possui a forma [( a 2 - x 2 ), ( a 2 + x 2 ), ( x 2 - a 2 )]que é preciso para usar a técnica de substituição trigonométrica.
  2. Além disso, o integrando não possui a forma necessária para usar as técnicas de integrais por frações parciais que é p ( X ) q x onde p ( X )e q x são polinômios

Obs ; Esse passo é fundamental pois, numa prova você não vai ter no enunciado da questão resolva essa integral por “uma técnica x ”.

Passo 2

Logo tentaremos integração por partes. Integração por partes envolve produto de duas funções.

Esse problema possui uma estrutura simples não precisa de nada engenhoso, porem necessita que você saiba a derivada e integral de funções hiperbólicas, certo?

Analisando a formula de integração por partes

  ∫ f x g ' ( x ) d x = f x g ( x ) - ∫ f ' x g ( x ) dx

Veja que devemos fazer todos os termos da formula aparecer certo ?

Fazendo os passos fundamentais da técnica de integração; faça:

F(x)= x 2 derivando f’(x)= 2x

g’(x)= senh x   → i n t e g r a n d o → G(x)= cosh x

Passo 3

Ficou com duvida nesse passo? ‘’ g’(x)= senh x G(x)= cosh x ’’? Acalme-se pois ali é uma derivada notável, ou seja d d x c o s h x = s e n h   x , é semelhante a d d x sen x = cos x , ok? (ou seja ,treinando você aprende todas “derivadas notáveis”) voltando a solução ;

usando

∫ f x g ' ( x ) d x = f x g ( x ) - ∫ f ' x g ( x ) dx, substituindo os termos encontrado nesta formula, temos;

∫ x 2 s e n h x dx = x 2 cosh x - ∫ 2 x cosh ⁡ x   d x

Passo 4

Note que devemos usar novamente integração por partes no ultimo termo;

∫ 2 x cosh ⁡ x   d x ”.

F(X)= X →   f’(X)= 1

g’(x)= cosh x G(x)= senh x , usando novamente

∫ f x g ' ( x ) d x = f x g ( x ) - ∫ f ' x g ( x ) dx, temos

2 ∫ x cosh ⁡ x   d x = 2   x   s e n h   x - 2 ∫ s e n h x   d x = 2 x s e n h   x   -   2 c o s h   x    

Substituindo na equação principal;

∫ x 2 s e n h x   d x =   x 2   c o s h   x   –   2 x s e n h   x   +   2   c o s h x   +   c .

Resposta

∫ x 2 s e n h x   d x =   x 2   c o s h   x   –   2 x s e n h   x   +   2   c o s h x   +   c .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados