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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.3 - Ex. 8b

Sejam m e n dois naturais diferentes de zero. Verifique

b) ∫ 0 1 x n 1 - x m d x = n ! m ! m + n + 1 !  

Passo 1

Beleza galera, mãos a obra. Olha, normalmente a gente aplicaria a distributiva. Mas como não sabemos quem é m ou n .

Então vamos tratar como um produto de funções diferentes. Uma boa forma de resolver integrais deste tipo é aplicar a integração por partes. Seja:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Teremos:

u = 1 - x m

d v = x n   d x

E logo:

d u = - m 1 - x m - 1   d x

v = x n + 1 n + 1

Logo:

∫ x n 1 - x m   d x = 1 - x m ∙ x n + 1 n + 1 - ∫ x n + 1 n + 1 - m 1 - x m - 1   d x

Ajeitando a função,

∫ x n 1 - x m   d x = 1 - x m ∙ x n + 1 n + 1 + m n + 1 ∫ x n + 1 1 - x m - 1   d x

Aplicando os limites de integração:

∫ 0 1 x n 1 - x m d x = 1 - x m ∙ x n + 1 n + 1 x = 0 x = 1 + m n + 1   ∫ 0 1 x n + 1 1 - x m - 1   d x

∫ 0 1 x n 1 - x m d x = m n + 1   ∫ 0 1 x n + 1 1 - x m - 1   d x

Opa, temos outra integral para resolver!

Passo 2

Ficamos com,

∫ 0 1 x n 1 - x m d x = m n + 1   ∫ 0 1 x n + 1 1 - x m - 1   d x

Então vamos comparar a integral da esquerda com a da direita. Repara que até agora não mudou muita coisa, mas saca só uma coisa muito importante dentro da integral original e da nova integral que achamos:

x n 1 - x m →   x n + 1 1 - x m - 1  

O expoente de n somou uma unidade e o de m subtraiu! Isso nos dá uma boa pista de que se eu integrar por partes algumas vezes, vamos acabar achando algo como:

x n 1 - x m → x n + 1 1 - x m - 1   x n + 1 1 - x m - 1 → x n + 2 1 - x m - 2   x n + 2 1 - x m - 2 → x n + 3 1 - x m - 3   ⋮ x n + m - 1 1 - x m - m + 1 → x n + m 1 - x m - m  

Ou seja, se eu integrar m vezes, alguma hora vamos achar uma integral com o interior:

∫ 0 1 x n + m 1 - x m - m   d x = ∫ 0 1 x n + m 1 - x 0   d x = ∫ 0 1 x n + m d x

E resolvendo essa integral, obtemos:

∫ 0 1 x n + m d x = x n + m + 1 n + m + 1 x = 0 x = 1 = 1 n + m + 1

Então bora integrar por partes mais algumas vezes pra achar um padrão pra constante que multiplica a integral.

Passo 3

Beleza, voltando um pouco, paramos aqui:

∫ 0 1 x n 1 - x m d x = m n + 1   ∫ 0 1 x n + 1 1 - x m - 1   d x

E integrando por partes de novo, temos:

u = 1 - x m - 1

d v = x n + 1   d x

E logo:

d u = - m - 1 1 - x m - 2   d x

v = x n + 2 n + 2

E a integral fica:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ x n + 1 1 - x m - 1   = 1 - x m - 1 ∙ x n + 2 n + 2 + m - 1 n + 2 ∫ x n + 2 1 - x m - 2   d x

∫ 0 1 x n + 1 1 - x m - 1   d x = 1 - x m - 1 ∙ x n + 2 n + 2 x = 0 x = 1 + m - 1 n + 2 ∫ 0 1 x n + 2 1 - x m - 2   d x

∫ 0 1 x n + 1 1 - x m - 1   d x = m - 1 n + 2 ∫ 0 1 x n + 2 1 - x m - 2   d x

E jogando na integral original:

∫ 0 1 x n 1 - x m d x = m n + 1   ∫ 0 1 x n + 1 1 - x m - 1   d x

∫ 0 1 x n 1 - x m d x = m n + 1   m - 1 n + 2 ∫ 0 1 x n + 2 1 - x m - 2   d x

∫ 0 1 x n 1 - x m d x = m m - 1 n + 1 n + 2   ∫ 0 1 x n + 2 1 - x m - 2   d x

Passo 4

Show, bora analisar o padrão. Integramos por partes 1 vez e achamos:

∫ 0 1 x n 1 - x m d x = m n + 1   ∫ 0 1 x n + 1 1 - x m - 1   d x

Integramos duas vezes e achamos:

∫ 0 1 x n 1 - x m d x = m m - 1 n + 1 n + 2   ∫ 0 1 x n + 2 1 - x m - 2   d x

Olhando pro padrão então, se integrarmos de novo, uma terceira vez, acharemos:

∫ 0 1 x n 1 - x m d x = m m - 1 m - 2 n + 1 n + 2 n + 3   ∫ 0 1 x n + 3 1 - x m - 3   d x

E logo, integrando m vezes:

∫ 0 1 x n 1 - x m d x = m m - 1 m - 2 … m - m - 1 n + 1 n + 2 n + 3 … n + m   ∫ 0 1 x n + m 1 - x m - m   d x

Olhando para nossa integral ∫ 0 1 x n + m 1 - x m - m   d x , temos que o segundo expoente vai zerar,

∫ 0 1 x n 1 - x m d x = m m - 1 m - 2 … 1 n + 1 n + 2 n + 3 … n + m   ∫ 0 1 x n + m d x

Se olharmos bem, o numerador é exatamente a definição de m ! , o que nos permite simplificar ainda mais:

∫ 0 1 x n 1 - x m d x = m ! n + 1 n + 2 n + 3 … n + m   ∫ 0 1 x n + m d x

Agora olha bem pra essa constante. Se multiplicarmos ela por:

1 … n - 2 n - 1 n 1 … n - 2 n - 1 n = n !   n ! = 1

Não vamos alterar nada no valor dela! Sendo assim, vamos multiplicar, mas pra ficar bem claro, vamos manter a notação n ! pro numerador e 1 … n - 2 n - 1 n pro denominador. Saca só o porquê disso:

∫ 0 1 x n 1 - x m d x = m ! n + 1 n + 2 n + 3 … n + m   ∙ n !   1 … n - 2 n - 1 n ∫ 0 1 x n + m d x

Opa! Olhando muito bem, não que é o denominador ganhou uma nova definição? Ele é exatamente n + m !   Portanto, temos:

∫ 0 1 x n 1 - x m d x = m ! ∙ n !   n + m !     ∫ 0 1 x n + m d x

E pra fechar com chave de ouro galera, a gente pega o resultado dessa integral que sobrou, que calculamos no passo 2, e substitui:

∫ 0 1 x n 1 - x m d x = m ! ∙ n !   n + m !   ∙   1 n + m + 1

Como:

n + m + 1 ! = n + m + 1 ∙ n + m !  

Fechamos então ao mudarmos o denominador uma última vez:

∫ 0 1 x n 1 - x m d x = m ! ∙ n !   n + m + 1 !  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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