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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.3 - Ex. 10b

Seja n um natural diferente de zero. Verifique

b) int_0^1 (1 - x^2)^n d x = (2^(2 n) (n !)^2)/((2 n + 1) !)

Passo 1

Aqui nós temos que verificar se a integral realmente chega neste valor!

A gente começa reescrevendo a nossa integral da seguinte forma:

int_0^1 (1 - x^2)^n d x = int_0^1 ((1)/(x^2) - 1)^n . x^(2 n) d x

A gente fez isso para poder usar o método de integração por partes, ok?

Relembrando essa técnica de integração, é tipo isso aqui:

int u d v = u v - int v d u

Agora vamos aplicar!

Passo 2

Então temos essa integral,

I = int_0^1 (1 - x^2)^n d x

Vamos escolher, no nosso caso:

u = ((1)/(x^2) - 1)^n d u = n . ((1)/(x^2) - 1)^(n - 1) . (- (2)/(x^3)) d x

d v = x^(2 n) d x v = (1)/(2 n + 1) . x^(2 n + 1)

Aplicando a integração por partes ficamos com

I = [((1)/(x^2) - 1)^n . (1)/(2 n + 1) . x^(2 n + 1)]_0^1 - int_0^1 (1)/(2 n + 1) . x^(2 n + 1) . n . ((1)/(x^2) - 1)^(n - 1) . (- (2)/(x^3)) d x

Agora vamos ajeitar um pouco,

I = [((1)/(x^2) - 1)^n . (1)/(2 n + 1) . x^(2 n + 1)]_0^1 - int_0^1 n . ((1)/(x^2) - 1)^(n - 1) . (- (2)/(x^3)) . (1)/(2 n + 1) . x^(2 n + 1) . d x

Já vamos calcular os limites de integração para parte entre os colchetes e simplificar mais a nossa integral,

I = (2 n)/(2 n + 1) . int_0^1 ( x^(2 n - 2) ) ((1)/(x^2) - 1)^(n - 1) d x

I = (2 n)/(2 n + 1) . int_0^1 (x^2)^(n - 1) ((1)/(x^2) - 1)^(n - 1) d x

Fazendo essa multiplicação,

int_0^1 (1 - x^2)^n d x = (2 n)/(2 n + 1) . int_0^1 (1 - x^2)^(n - 1) d x

Passo 3

Ficamos com

int_0^1 (1 - x^2)^n d x = (2 n)/(2 n + 1) . int_0^1 (1 - x^2)^(n - 1) d x

Repara que o termo int_0^1 (1 - x^2)^(n - 1) d x é parecido com o da nossa pergunta int_0^1 (1 - x^2)^n d x . Só que mundo é o expoente!

Então resolvendo a parte int_0^1 (1 - x^2)^(n - 1) d x , de forma análoga a nossa solução, ficamos com,

int_0^1 (1 - x^2)^n d x = ((2 n)/(2 n + 1)) ((2 (n - 1))/(2 (n - 1) + 1)) . int_0^1 (1 - x^2)^(n - 2) d x

Fazendo a multiplicação ficamos com,

int_0^1 (1 - x^2)^n d x = (((2 n) (2 n) - 2 n (- 2))/((2 n + 1) (2 n - 1))) . int_0^1 (1 - x^2)^(n - 2) d x

Note que os termos 2 n e 2 n + 1 , sempre vão se repetir conforme fomos integrando a segunda a integral. Colocando o 2 em evidência e fazendo isso n vezes temos

int_0^1 (1 - x^2)^n = (2^(2 n) (n !)^2)/((2 n + 1) !)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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