Seja n um natural diferente de zero. Verifique

b) ∫ 0 1 1 - x 2 n d x = 2 2 n n ! 2 2 n + 1 !    

Passo 1

Aqui nós temos que verificar se a integral realmente chega neste valor!

A gente começa reescrevendo a nossa integral da seguinte forma:

∫ 0 1 1 - x 2 n   d x = ∫ 0 1 1 x 2 - 1 n   .   x 2 n   d x

A gente fez isso para poder usar o método de integração por partes, ok?

Relembrando essa técnica de integração, é tipo isso aqui:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Agora vamos aplicar!

Passo 2

Então temos essa integral,

I = ∫ 0 1 1 - x 2 n   d x

Vamos escolher, no nosso caso:

u = 1 x 2 - 1 n d u = n   .   1 x 2 - 1 n - 1 .   - 2 x 3 d x

d v = x 2 n d x v = 1 2 n + 1   .   x 2 n + 1

Aplicando a integração por partes ficamos com

I = 1 x 2 - 1 n   .   1 2 n + 1   .   x 2 n + 1 0 1 - ∫ 0 1 1 2 n + 1   .   x 2 n + 1 . n   .   1 x 2 - 1 n - 1 .   - 2 x 3 d x

Agora vamos ajeitar um pouco,

I   =   1 x 2 - 1 n   .   1 2 n + 1   .   x 2 n + 1 0 1   -   ∫ 0 1 n   .   1 x 2 - 1 n - 1   .   - 2 x 3 .   1 2 n + 1   .   x 2 n + 1   .   d x

Já vamos calcular os limites de integração para parte entre os colchetes e simplificar mais a nossa integral,

I   =   2 n 2 n + 1   .   ∫ 0 1 ( x 2 n - 2 ) 1 x 2 - 1 n - 1 d x

I   =   2 n 2 n + 1   .   ∫ 0 1 x 2 n - 1 1 x 2 - 1 n - 1 d x

Fazendo essa multiplicação,

∫ 0 1 1 - x 2 n   d x     = 2 n 2 n + 1   .   ∫ 0 1 1 - x 2 n - 1   d x

Passo 3

Ficamos com

∫ 0 1 1 - x 2 n   d x     = 2 n 2 n + 1   .   ∫ 0 1 1 - x 2 n - 1   d x

Repara que o termo ∫ 0 1 1 - x 2 n - 1   d x é parecido com o da nossa pergunta ∫ 0 1 1 - x 2 n   d x   . Só que mundo é o expoente!

Então resolvendo a parte ∫ 0 1 1 - x 2 n - 1   d x , de forma análoga a nossa solução, ficamos com,

∫ 0 1 1 - x 2 n   d x     = 2 n 2 n + 1 2 n - 1 2 n - 1 + 1   .   ∫ 0 1 1 - x 2 n - 2   d x

Fazendo a multiplicação ficamos com,

∫ 0 1 1 - x 2 n   d x     = 2 n 2 n - 2 n - 2 2 n + 1 2 n - 1   .   ∫ 0 1 1 - x 2 n - 2   d x

Note que os termos 2 n e 2 n + 1 , sempre vão se repetir conforme fomos integrando a segunda a integral. Colocando o 2 em evidência e fazendo isso n vezes temos

∫ 0 1 1 - x 2 n = 2 2 n n ! 2 2 n + 1 !

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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