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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.1 - Ex. 10

Calcule a integral.

int sen^(- 1) x d x

Passo 1

Opa! Nesse exercício iremos resolver a seguinte integral:

int sen^(- 1) x d x

Não é uma integral tão banal de resolver, então vamos precisar usar um método de integração! Pra a gente usar substituição simples teríamos que ter selecionar um u e a derivada do u , d u também deve ser encontrada na expressão!

Isso não acontece aqui, então vamos seguir com integração por partes!

Dica: Sempre tente resolver a integral pelo método mais simples!

Para integrar por partes temos:

int u d v = (u v) - int v d u

Temos:

(1)/(sin x) e d x

Então vamos ter:

u = (1)/(sin x)

d v = d x

Precisamos achar d u e v . Derivando u :

(d u)/(d x) = (d)/(d x) ((1)/(sin x)) = (1)/(sqrt(1 - x^2))

d u = (1)/(sqrt(1 - x^2)) d x

Agora integramos pra achar v :

int d v = int d x

v = x

Substituindo:

(u v) - int v d u

= x sin^(- 1) x - int (x)/(sqrt(1 - x^2)) d x

Passo 2

Agora integramos:

int (x)/(sqrt(1 - x^2)) d x

Aqui a gente vai usar substituição simples, fazendo: t = 1 - x ² , nós temos que d t = - 2 x d x , então:

int (x)/(sqrt(1 - x^2)) d x = int t^(- (1)/(2)) (- (1)/(2) d t)

int t^(- (1)/(2)) (- (1)/(2) d t) = (1)/(2) (2 t^((1)/(2))) + C

= t^((1)/(2)) + C = sqrt(1 - x^2) + C

Consequentemente,

int sen^(- 1) x d x = x sen^(- 1) x + sqrt(1 - x^2) + C

Prontinho!

Resposta

x sen^(- 1) x + sqrt(1 - x^2) + C .

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