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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 48

Calcule a integral:

int_0^((1)/(4)) sec pi x t g pi x d x

Passo 1

Precisamos calcular essa integral aí.

Primeiro a gente precisa deixar esse argumento das funções sendo uma variável sozinha, para usar nossa técnicas. Vamos fazer isso usando a substituição:

u = pi x :. (d u)/(d x) = pi :. (1)/(pi) d u = d x

Nossa integral fica:

(1)/(pi) int sec u t g u d u

Passo 2

Vamos resolver essa integral, lembrando que se:

(sec u)^' = sec u t g u

Então:

(1)/(pi) int sec u t g u d u = (sec u)/(pi)

Passo 3

Precisamos agora voltar a variável x :

u = pi x

int sec pi x t g pi x d x = (sec pi x)/(pi)

Mas a nossa integral é definida, então precisamos fazer mais umas continhas ainda:

int_0^((1)/(4)) sec pi x t g pi x d x = (sec pi x)/(pi) (​|_0^((1)/(4))

= (2)/(pi sqrt(2)) - (1)/(pi) = (2 sqrt(2))/(2 pi) - (1)/(pi) = (sqrt(2) - 1)/(pi)

Resposta

int_0^((1)/(4)) sec pi x t g pi x d x = (sqrt(2) - 1)/(pi)

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