Calcule a integral:

∫ 0 1 4 sec ⁡ π x   t g   π x d x

Passo 1

Precisamos calcular essa integral aí.

Primeiro a gente precisa deixar esse argumento das funções sendo uma variável sozinha, para usar nossa técnicas. Vamos fazer isso usando a substituição:

u = π x ∴ d u d x = π ∴ 1 π d u = d x

Nossa integral fica:

1 π ∫ sec ⁡ u   t g   u d u

Passo 2

Vamos resolver essa integral, lembrando que se:

sec ⁡ u ' = sec ⁡ u   t g   u

Então:

1 π ∫ sec ⁡ u   t g   u d u = sec ⁡ u π

Passo 3

Precisamos agora voltar a variável x :

u = π x

∫ sec ⁡ π x   t g   π x d x = sec ⁡ π x π

Mas a nossa integral é definida, então precisamos fazer mais umas continhas ainda:

∫ 0 1 4 sec ⁡ π x   t g   π x d x = sec ⁡ π x π ​ 0 1 4

= 2 π 2 - 1 π = 2 2 2 π - 1 π = 2 - 1 π

Resposta

∫ 0 1 4 sec ⁡ π x   t g   π x d x = 2 - 1 π

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