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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 51

Calcule a integral:

int c o t g^3 x d x

Passo 1

Precisamos calcular essa integral aí.

É bom a gente pensar em fazer aparecer nas integrais com cotangente, a amiga dela, a cossecante, para conseguirmos usar as integrais que a gente conhece. Para fazer isso no nosso caso, podemos lembrar que:

c o t g^2 x = c o s s e c^2 x - 1

E reescrevendo nossa integral:

int c o t g^3 x d x = int c o t g^2 x c o t g x d x = int (c o s s e c^2 x - 1) c o t g x d x = int c o s s e c^2 x c o t g x d x - int c o t g x d x

Agora é resolver cada uma dessas integrais.

Passo 2

Resolvendo a primeira:

int c o s s e c^2 x c o t g x d x

Podemos chamar:

u = c o t g x

(d u)/(d x) = - c o s s e c^2 x :. - d u = c o s s e c^2 x d x

Nossa integral fica:

int - u d u = - (u^2)/(2)

Voltando para x :

int c o s s e c^2 x c o t g x d x = (- c o t g^2 x)/(2)

Passo 3

Resolvendo a segunda, podemos dizer que:

int c o t g x d x = int (cos x)/(s e n x) d x

Vamos chamar:

u = s e n x

(d u)/(d x) = cos x , d u = cos x d x

Nossa integral fica:

int (1)/(u) d u = ln |u|

Voltando para x :

int c o t g x d x = ln |s e n x|

Passo 4

Agora é só somar tudo, sem esquecer da constante de integração:

int c o t g^3 x d x = (- c o t g^2 x)/(2) - ln |s e n x| + C

Resposta

int c o t g^3 x d x = (- c o t g^2 x)/(2) - ln |s e n x| + C

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