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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 17

Calcule a integral

17. int_0^(pi // 2) cos^3 x d x

Passo 1

Pra esse tipo de integral, que envolve produto potências de seno e cosseno, temos duas regras gerais básicas pra resolver:

1 ª : Se omexpoente for ímpar, usamos a relação sin^2 u + cos^2 u = 1 e depois substituição simples.

2 ª : Se o expoente for par, usamos as relações sin^2 u = (1 - cos 2 u)/(2) e cos^2 u = (1 + cos 2 u)/(2) , e depois substituição simples.

Nisso, temos que aplicar o resultado da integral nos valores da integral, subtraindo o de cima pelo de baixo. Esse é o Teorema Fundamental do Cálculo, usado nas integrais definidas.

Passo 2

Sendo o expoente ímpar, separamos um termo cos x , e usamos a primeira relação. Vamos ter:

int_0^(pi // 2) cos^3 x d x = int_0^(pi // 2) cos^2 x cos x d x =

int_0^(pi // 2) ( 1 - sin^2 x ) cos x d x

Agora, aplicamos uma substituição simples, sendo sin x = u , e d u = cos x d x

Passo 3

int_0^(pi // 2) ( 1 - sin^2 x ) cos x d x = int_0^(pi // 2) ( 1 - u^2 ) d u

Separamos essa integral em duas e resolvemos diretamente:

int_0^(pi // 2) ( 1 - u^2 ) d u = int_0^(pi // 2) d u - int_0^((pi)/(2)) u^2 d u =

[int_0^(pi // 2) d u - int_0^((pi)/(2)) u^2 d u] = (u|_0^(pi // 2) - ((u^3)/(3)|_0^(pi // 2)

Agora, retornamos à variável x :

(u|_0^(pi // 2) - ((u^3)/(3)|_0^(pi // 2) = (sin x|_0^(pi // 2) - ((sin^3 x)/(3)|_0^(pi // 2)

Passo 4

Já tendo o resultado da integral, basta aplicarmos os valores nos quais ela está definida, subtraindo o de cima pelo de baixo. Vamos ter:

(sin x|_0^(pi // 2) - ((sin^3 x)/(3)|_0^((pi)/(2)) = (sin (pi)/(2) - sin 0) - ((sin^3 pi // 2)/(3) - (sin^3 0)/(3))

Calculamos e temos o resultado final da integral:

(sin (pi)/(2) - sin 0) - ((sin^3 (pi)/(2))/(3) - (sin^3 0)/(3)) = (1 - 0) - ((1)/(3) - (0)/(3)) =

= 1 - (1)/(3) = (2)/(3)

Resposta

int_0^(pi // 2) cos^3 x d x = (2)/(3)

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