Calcule a integral

17. ∫ 0 π / 2 cos 3 ⁡ x d x

Passo 1

Pra esse tipo de integral, que envolve produto potências de seno e cosseno, temos duas regras gerais básicas pra resolver:

1 ª : Se omexpoente for ímpar, usamos a relação sin 2 ⁡ u + cos 2 ⁡ u = 1 e depois substituição simples.

2 ª : Se o expoente for par, usamos as relações sin 2 ⁡ u = 1 - cos ⁡ 2 u 2 e cos 2 ⁡ u = 1 + cos ⁡ 2 u 2 , e depois substituição simples.

Nisso, temos que aplicar o resultado da integral nos valores da integral, subtraindo o de cima pelo de baixo. Esse é o Teorema Fundamental do Cálculo, usado nas integrais definidas.

Passo 2

Sendo o expoente ímpar, separamos um termo cos ⁡ x , e usamos a primeira relação. Vamos ter:

∫ 0 π / 2 cos 3 ⁡ x d x = ∫ 0 π / 2 cos 2 ⁡ x cos ⁡ x d x =

∫ 0 π / 2 ( 1 - sin 2 ⁡ x ) cos ⁡ x d x

Agora, aplicamos uma substituição simples, sendo sin ⁡ x = u , e d u = cos ⁡ x d x

Passo 3

∫ 0 π / 2 ( 1 - sin 2 ⁡ x ) cos ⁡ x d x = ∫ 0 π / 2 ( 1 - u 2 ) d u

Separamos essa integral em duas e resolvemos diretamente:

∫ 0 π / 2 ( 1 - u 2 ) d u = ∫ 0 π / 2 d u - ∫ 0 π 2 u 2 d u =

∫ 0 π / 2 d u - ∫ 0 π 2 u 2 d u = u 0 π / 2 - u 3 3 0 π / 2

Agora, retornamos à variável x :

u 0 π / 2 - u 3 3 0 π / 2 = sin ⁡ x 0 π / 2 - sin 3 ⁡ x 3 0 π / 2

Passo 4

Já tendo o resultado da integral, basta aplicarmos os valores nos quais ela está definida, subtraindo o de cima pelo de baixo. Vamos ter:

sin ⁡ x 0 π / 2 - sin 3 ⁡ x 3 0 π 2 = sin ⁡ π 2 - sin ⁡ 0 - sin 3 ⁡ π / 2 3 - sin 3 ⁡ 0 3

Calculamos e temos o resultado final da integral:

sin ⁡ π 2 - sin ⁡ 0 - sin 3 ⁡ π 2 3 - sin 3 ⁡ 0 3 = 1 - 0 - 1 3 - 0 3 =

= 1 - 1 3 = 2 3

Resposta

∫ 0 π / 2 cos 3 ⁡ x d x = 2 3

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