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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 2

Calcule a integral.

int sqrt(1 - 4 x^2) d x

Passo 1

Bom galera, para resolvermos essa integral, a gente vai usar a substituição trigonométrica. Para a nossa integral:

int sqrt(1 - 4 x^2) d x

-> int sqrt(1 - (2 x)^2) d x

Vamos chamar:

x = (1)/(2) sin theta

d x = (1)/(2) cos theta d theta

Passo 2

Belezinha, substituindo, ficamos com:

(1)/(2) int sqrt(1 - sin^2 theta) (cos theta) d theta

= (1)/(2) int sqrt(cos^2 theta) ( cos^2 theta ) d theta

= (1)/(2) int (cos^2 theta) d theta

= (1)/(2) int ((1 + cos 2 theta)/(2)) d theta

= (1)/(4) int (1 + cos 2 theta) d theta

Passo 3

Por fim, a gente resolve a integral e volta pra x :

(1)/(4) int (1 + cos 2 theta) d theta

= (1)/(4) (theta + (1)/(2) sin 2 theta) + C

= (1)/(4) theta + (1)/(8) sin 2 theta + C

Voltando para x :

(sin^(- 1) 2 x)/(4) + (1)/(4) (2 x) (sqrt(1 - 4 x^2)) + C

= (sin^(- 1) 2 x)/(4) + (x sqrt(1 - 4 x^2))/(2) + C

Resposta

(sin^(- 1) 2 x)/(4) + (x sqrt(1 - 4 x^2))/(2) + C

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