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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 3

Calcule a integral.

int (x^2)/(sqrt(16 - x^2)) d x

Passo 1

Bom galera, para resolvermos essa integral, a gente vai usar a substituição trigonométrica. Para a nossa integral:

int (x^2)/(sqrt(16 - x^2)) d x

Vamos chamar:

x = 4 sin theta

d x = 4 cos theta d theta

Passo 2

Belezinha, substituindo, ficamos com:

int (16 sin^2 theta ( 4 cos theta ))/(4 cos theta) d theta

= 16 int sin^2 theta d theta = 8 int (1 - cos 2 theta) d theta

Passo 3

Por fim, a gente resolve a integral e volta pra x :

8 int (1 - cos 2 theta) d theta

= 8 theta - 4 sin 2 theta + C

= 8 theta - 8 sin theta cos theta + C

Voltando para x :

8 sin^(- 1) ((x)/(4)) - 8 ((x)/(4)) ((sqrt(16 - x^2))/(4)) + C

= 8 sin^(- 1) ((x)/(4)) - (x sqrt(16 - x^2))/(2) + C

Resposta

8 sin^(- 1) ((x)/(4)) - (x sqrt(16 - x^2))/(2) + C

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