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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 12

Calcule a integral.

int (sqrt(1 + t^2))/(t) d t

Passo 1

Bom galera, para resolvermos essa integral, a gente vai usar a substituição trigonométrica. Para a nossa integral:

int (sqrt(1 + t^2))/(t) d t

Vamos chamar:

t = tan theta

d t = sec^2 theta d theta

Passo 2

Belezinha, substituindo, ficamos com:

int (sqrt(1 + tan^2 theta))/(tan theta) ( sec^2 theta ) d theta

Usamos então a indentidade trigonométrica, aí fica assim:

int (sqrt(sec^2 theta))/(tan theta) sec^2 theta d theta

= int (sec theta)/(tan theta) sec^2 theta d theta

= int (sec theta ( 1 + tan^2 theta ))/(tan theta) d theta

= int (1 + tan^2 theta)/(tan theta) sec theta d theta

= int ((1)/(tan theta) + tan theta) sec theta d theta

= int (csc theta + tan theta sec theta) d theta

Passo 3

Por fim, a gente resolve a integral e volta pra x :

int (csc theta + tan theta sec theta) d theta

= [ln |csc theta - cot theta| + sec theta] + C

Aí então, voltamos para x :

ln |(sqrt(1 + t^2))/(t) - (1)/(t)| + sqrt(1 + t^2) + C

= ln |(sqrt(1 + t^2) - 1)/(t)| + sqrt(1 + t^2) + C

Resposta

ln |(sqrt(1 + t^2) - 1)/(t)| + sqrt(1 + t^2) + + C

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