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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 10

Calcule a integral.

int x^3 sqrt(5 - x^2) d x

Passo 1

Bom galera, para resolvermos essa integral, a gente vai usar a substituição trigonométrica. Para a nossa integral:

int x^3 sqrt(5 - x^2) d x

= int x^3 sqrt((sqrt(5))^2 - x^2) d x

Vamos chamar:

x = sqrt(5) sin theta

d x = sqrt(5) cos theta d theta

Passo 2

Belezinha, substituindo, ficamos com:

int (sqrt(5) sin theta)^3 sqrt(5 - 5 sin^2 theta) (sqrt(5)) cos theta d theta

= int 5 sqrt(5) sin^3 theta sqrt(5 ( 1 - sin^2 theta )) (sqrt(5)) cos theta d theta

= int 25 sqrt(5) sin^3 theta sqrt(1 - sin^2 theta) cos theta d theta

Usamos então a indentidade trigonométrica, aí fica assim:

25 sqrt(5) int sin^3 theta sqrt(cos^2 theta) cos theta d theta

= 25 sqrt(5) int sin^3 theta cos^2 theta d theta

= 25 sqrt(5) int sin^2 theta cos^2 theta sin theta d theta

= 25 sqrt(5) int ( 1 - cos^2 theta ) cos^2 theta sin theta d theta

= 25 sqrt(5) int (cos^2 theta - cos^4 theta) sin theta d theta

Passo 3

Então agora, pra facilitar a gente faz outra substituição:

25 sqrt(5) int (cos^2 theta - cos^4 theta) sin theta d theta

Onde chamamos, as variáveis:

t = cos theta

- d t = sin theta d theta

Logo, ficamos com:

- 25 sqrt(5) int (t^2 - t^4) d t

= - 25 sqrt(5) int t^2 - t^4 d t

Passo 4

Por fim, a gente resolve a integral e volta pra x :

- 25 sqrt(5) int t^2 - t^4 d t

= - 25 sqrt(5) [(t^3)/(3) - (t^5)/(5)] + C

Voltamos primeiro para theta :

= - 25 sqrt(5) [(cos^3 theta)/(3) - (cos^5 theta)/(5)] + C

= - 5 sqrt(5) cos^5 theta - (25 sqrt(5))/(3) cos^3 theta + C

Aí então, voltamos para x :

- 5 sqrt(5) ((sqrt(5 - x^2))/(sqrt(5)))^5 - (25 sqrt(5))/(3) ((sqrt(5 - x^2))/(sqrt(5)))^3 + C

= - 5 sqrt(5) ((5 - x^2)^((5)/(2)))/(25 sqrt(5)) - (25 sqrt(5))/(3) ((5 - x^2)^((3)/(2)))/(5 sqrt(5)) + C

= (1)/(5) (5 - x^2)^(5 // 2) - (5)/(3) (5 - x^2)^((3)/(2)) + C

Resposta

(1)/(5) (5 - x^2)^(5 // 2) - (5)/(3) (5 - x^2)^((3)/(2)) + C

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