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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 7

Calcule a integral.

int (sqrt(x^2 - 9))/(x) d x

Passo 1

Bom galera, para resolvermos essa integral, a gente vai usar a substituição trigonométrica. Para a nossa integral:

int (sqrt(x^2 - 9))/(x) d x

= int (sqrt(x^2 - 3^2))/(x) d x

Vamos chamar:

x = 3 sec theta

d x = 3 sec theta tan theta d theta

Passo 2

Belezinha, substituindo, ficamos com:

int (sqrt((3 sec^2 theta)^2 - 3^2))/(3 sec theta) d theta

Simplificamos tudo, e fica:

int 3 sqrt(sec^2 theta - 1) tan theta d theta

Usamos a identidade trigonométrica:

3 int sqrt(tan^2 theta) tan theta d theta

= 3 int tan^2 theta d theta

= 3 int (sec^2 theta - 1) d theta

Passo 3

Por fim, a gente resolve a integral e volta pra x :

3 int (sec^2 theta - 1) d theta

= 3 [tan theta - theta] + C

= 3 tan theta - 3 theta + C

Voltando para x :

3 ((sqrt(x^2 - 9))/(3)) - 3 sec^(- 1) ((x)/(3)) + C

= sqrt(x^2 - 9) - 3 sec^(- 1) ((x)/(3)) + C

Resposta

sqrt(x^2 - 9) - 3 sec^(- 1) ((x)/(3)) + C

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