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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 62

Calcule a integral.

int_(- (1)/(sqrt(2)))^((1)/(sqrt(2))) (1 - 2 x^2)^(3 // 2) d x

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

Essa aqui espanta um pouco né? Mas fica calmo(a) que vai sair!

A gente vai usar substituição trigonométrica nela.

Vamos fazer x = (s e n u)/(sqrt(2)) e d x = (cos u)/(sqrt(2)) .

Esquece os intervalos por enquanto. Vamos calcular a indefinida primeiro...

int (1 - s e n^2 u)^((3)/(2)) (cos u)/(sqrt(2)) d u

Passo 2

Beleza, agora a gente usa a relação trigonométrica:

s e n^2 x + cos^2 x = 1

cos^2 x = 1 - s e n^2 x

(1)/(sqrt(2)) int (cos^2 u)^((3)/(2)) cos u d u

(1)/(sqrt(2)) int cos^4 u d u

Ótimo! Aqui a gente pode usar aquelas fórmulas de redução pra calcular, aí vai ficar:

(1)/(sqrt(2)) [cos^3 u s e n u + (3)/(8) u - (3 s e n 4 u)/(32)]

Passo 3

Vamos voltar para a variável x agora e aplicar os intervalos...

Já que x = (s e n u)/(sqrt(2)) , temos u = a r c s e n sqrt(2) x :

(1)/(sqrt(2)) [cos^3 ( a r c s e n sqrt(2) x ) s e n a r c s e n sqrt(2) x + (3)/(8) a r c s e n sqrt(2) x - (3 s e n 4 a r c s e n sqrt(2) x)/(32)]_(- (1)/(sqrt(2)))^((1)/(sqrt(2)))

(a gente tem q u e a r c s e n sqrt(2) ((1)/(sqrt(2))) = a r c s e n 1 = (pi)/(2) )

(1)/(sqrt(2)) [ cos^3 (pi)/(2) s e n (pi)/(2) + (3)/(8) ((pi)/(2)) - (3 s e n 4 ((pi)/(2)))/(32) - cos^3 (- (pi)/(2)) s e n (- (pi)/(2)) - (3)/(8) (- (pi)/(2)) + ((3 s e n 4 (- (pi)/(2)))/(32))

= (1)/(sqrt(2)) [(3 pi)/(16) + (3 pi)/(16)]

= (1)/(sqrt(2)) [(3 pi)/(8)]

= (3 pi)/(8 sqrt(2))

Ufaaa! Conseguimos😉

Resposta

(3 pi)/(8 sqrt(2))

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