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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 2.1 - Ex. 2d

  1. Calcule

d) int_0^x f (t) d t onde f (t) = {[[1 s e 0 <= t < 1],[2 s e 1 <= t < 2],[3 s e t >= 2]])

Passo 1

Como f é limitada no intervalo [ 0 , x ] e descontínua apenas nos pontos t = 1 e t = 2 , então ela é integrável. Para integrar, vamos fazer o seguinte:

Se 0 <= x < 1 :

I = int_0^x f (t) d t

Se 1 <= x < 2 :

I = int_0^1 f ( t ) d t + int_1^2 f ( t ) d t

Se x >= 2 :

I = int_0^1 f ( t ) d t + int_1^2 f ( t ) d t + int_2^x f ( t ) d t

Belezinha?!

Passo 2

O primeiro caso fica o seguinte:

f (t) = 1 , pois 0 <= x < 1

Logo,

I = int_0^x 1 d t = int_0^x d t

Resolvendo a integral:

I = t |_0^x = (x - 0)

Por fim,

I = x

O Segundo é bem parecido olha só:

I = int_0^1 f ( t ) d t + int_1^2 f ( t ) d t

No intervalo [ 0,1 [ :

f (t) = 1

No intervalo [ 1,2 [ :

f (t) = 2

Então a integral fica o seguinte:

I = int_0^1 1 d t + int_1^x 2 d t

Assim

I = int_0^1 d t + 2 int_1^2 d t

Integrando:

I = (1 - 0) + 2 xx ( 2 - 1 )

Assim,

I = 3

Passo 3

Por último, vamos fazer para x >= 2 . Nesse caso, teremos o seguinte:

I = int_0^1 d t + int_1^2 2 d t + int_2^x 3 d t

Resolvendo,

I = t |_0^1 + 2 t |_1^2 + 3 t |_2^x

Aplicando entre esses pontos:

I = (1 - 0) + (4 - 2) + 3 xx (x - 2)

Fazendo as contas:

I = 3 x - 3

Juntando as respostas, temos:

int_0^x f (t) d t = {[[x , 0 <= x < 1],[3 , 1 <= x < 2],[3 x - 3 , x >= 2]])

Resposta

int_0^x f (t) d t = {[[x , 0 <= x < 1],[3 , 1 <= x < 2],[3 x - 3 , x >= 2]])

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