1. Calcule

d)   ∫ 0 x f t d t     onde     f t = 1       s e           0 ≤ t < 1 2       s e           1 ≤ t < 2 3       s e           t ≥ 2

Passo 1

Como f é limitada no intervalo [ 0 , x ] e descontínua apenas nos pontos t = 1 e t = 2 , então ela é integrável. Para integrar, vamos fazer o seguinte:

Se 0 ≤ x < 1 :

I = ∫ 0 x f t d t

Se 1 ≤ x < 2 :

I = ∫ 0 1 f ( t ) d t +   ∫ 1 2 f ( t ) d t

Se x ≥ 2 :

I = ∫ 0 1 f ( t ) d t + ∫ 1 2 f ( t ) d t + ∫ 2 x f ( t ) d t

Belezinha?!

Passo 2

O primeiro caso fica o seguinte:

f t = 1 , pois 0 ≤ x < 1

Logo,

I = ∫ 0 x 1 d t = ∫ 0 x d t

Resolvendo a integral:

I = t | 0 x = x - 0

Por fim,

I = x

O Segundo é bem parecido olha só:

I = ∫ 0 1 f ( t ) d t +   ∫ 1 2 f ( t ) d t

No intervalo [ 0,1 [ :

f t = 1

No intervalo [ 1,2 [ :

f t = 2

Então a integral fica o seguinte:

I = ∫ 0 1 1 d t +   ∫ 1 x 2 d t

Assim

I = ∫ 0 1 d t +   2 ∫ 1 2 d t

Integrando:

I = 1 - 0 +   2 × ( 2 - 1 )

Assim,

I = 3

Passo 3

Por último, vamos fazer para x ≥ 2 . Nesse caso, teremos o seguinte:

I = ∫ 0 1 d t + ∫ 1 2 2 d t + ∫ 2 x 3 d t

Resolvendo,

  I = t | 0 1 + 2 t | 1 2 + 3 t | 2 x

Aplicando entre esses pontos:

I = 1 - 0 + 4 - 2 + 3 × x - 2

Fazendo as contas:

I = 3 x - 3

Juntando as respostas, temos:

∫ 0 x f t d t = x ,                           0 ≤ x < 1 3 ,                           1 ≤ x < 2 3 x - 3 ,                       x ≥ 2

Resposta

∫ 0 x f t d t = x ,                           0 ≤ x < 1 3 ,                           1 ≤ x < 2 3 x - 3 ,                       x ≥ 2

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