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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 2.1 - Ex. 2b

  1. Calcule

b) int_(- 1)^x f (t) d t onde f (t) = {[[t^2 s e - 1 <= t <= 1],[2 s e t > 1]])

Passo 1

Como f é limitada no intervalo [ - 1 , x ] e descontínua apenas no ponto x = 1 , então ela é integrável. Para integrar, vamos fazer o seguinte:

Se - 1 <= x < 1 :

I = int_(- 1)^x f (t) d t

Se x >= 1 :

I = int_(- 1)^1 f (t) d t + int_1^x f (t) d t

Passo 2

O primeiro caso fica o seguinte:

f (t) = t^2 , pois - 1 <= x <= 1

Logo,

I = int_(- 1)^x t^2 d t

Não esquece: int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + c quando n != - 1

Resolvendo a integral:

I = (t^3)/(3) |_(- 1)^x

Por fim,

I = (x^3)/(3) - ((- 1)^3)/(3) -> I = (x^3 + 1)/(3)

Passo 3

Agora vamos analisar o caso em que x >= 1 .

I = int_(- 1)^1 f (t) d t + int_1^x f (t) d t

Entre [ - 1,1 ] :

f (t) = t^2

E entre [1 , x] :

f (t) = 2

Assim,

I = int_(- 1)^1 t^2 d t + int_1^x 2 d t

Resolvendo, temos:

I = (t^3)/(3) |_(- 1)^1 + 2 xx t |_1^x

Logo,

I = ((1^3)/(3) - ((- 1)^3)/(3)) + 2 xx ( x - 1 )

Fazendo as contas

I = 2 x - (4)/(3)

Agora podemos juntar nossas respotas.

int_0^x f (t) d t = {[[(x^3 + 1)/(3) , - 1 <= x < 1],[2 x - (4)/(3) , x >= 1]])

Resposta

int_0^x f (t) d t = {[[(x^3 + 1)/(3) , - 1 <= x < 1],[2 x - (4)/(3) , x >= 1]])

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Utilizando o exercício 2, estude a convergência ou a divergência de cada uma das integrais a seguir. ∫ 10 ∞ x 5 - 3 x 20 + x 10 - 1d x
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É convergente ou divergente? Justifique.int_1^(oo) (sqrt(x + 1))/(root(3)(x^6 + x + 1)) d x
É convergente ou divergente? Justifique.int_1^(oo) (x^2 + 1)/(x^3 + 1) d x
É convergente ou divergente? Justifique.int_4^(oo) (2 x - 3)/(x^3 - 3 x^2 + 1) d x