1. Calcule

c) ∫ - 1 3 f x d x     onde       f x = x 1 + x 2           s e     x ≠ 1 5                       s e   x = 1  

Passo 1

Como f ( x ) é limita no intervalo [ - 1,3 ] e descontínua apenas no ponto x = 1 , f ( x ) é integrável nesse intervalo. Agora vamos integrar nos intervalos contínuos e juntar isso. Olha só:

∫ - 1 3 f x d x = ∫ - 1 1 f x d x + ∫ 1 3 f x d x

Passo 2

No intervalo [ - 1,1 [ :

f x = x 1 + x 2

Logo,

I 1 = ∫ - 1 1 x 1 + x 2 d x

Pra resolver essa questão, vamos fazer uma substituição de variável. Vem comigo!

u = 1 + x 2

Derivando,

d u = 2 x d x → x d x = 1 2 d u

Como fizemos uma substituição, temos que mudar os limites de integração!

x = - 1 → u = 1 + - 1 2 = 2

x = 1 → u = 1 + 1 2 = 2

Então nossa integral fica o seguinte:

I 1 = ∫ 2 2 1 u d u 2  

Como os limites de integração deram iguais, nossa integral será 0 .

I 1 = 0

Passo 3

No intervalo [ 1,3 [ :

f x = x 1 + x 2

Logo,

I 2 = ∫ 1 3 x 1 + x 2 d x

Pra resolver essa questão, vamos fazer a mesma substituição de variável.

u = 1 + x 2

Derivando,

d u = 2 x d x → x d x = 1 2 d u

Como fizemos uma substituição, temos que mudar os limites de integração!

x = - 1 → u = 1 + 1 2 = 2

x = 1 → u = 1 + 3 2 = 10

Então nossa integral fica o seguinte:

I 2 = ∫ 2 10 1 u d u 2   → I 2 = 1 2 ∫ 2 10 d u u

Não esquece: ∫ 1 x d x = ln ⁡ | x | + c

Logo,

I 2 = 1 2 ln ⁡ u | 2 10

Aplicando entre os pontos 2 e 10 :

I 2 = 1 2 ln ⁡ 10 - ln ⁡ ( 2

Isto é,

I 2 = 1 2 ln ⁡ ( 5 )

Nossa integral

∫ - 1 3 f x d x = I 1 + I 2

Substituindo os valores:

∫ - 1 3 f x d x = 1 2 ln ⁡ ( 5 )

Resposta

∫ - 1 3 f x d x = 1 2 ln ⁡ ( 5 )

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