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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 2.1 - Ex. 1c

  1. Calcule

c) int_(- 1)^3 f (x) d x onde f (x) = {[[(x)/(1 + x^2) s e x != 1],[5 s e x = 1]])

Passo 1

Como f ( x ) é limita no intervalo [ - 1,3 ] e descontínua apenas no ponto x = 1 , f ( x ) é integrável nesse intervalo. Agora vamos integrar nos intervalos contínuos e juntar isso. Olha só:

int_(- 1)^3 f (x) d x = int_(- 1)^1 f (x) d x + int_1^3 f (x) d x

Passo 2

No intervalo [ - 1,1 [ :

f (x) = (x)/(1 + x^2)

Logo,

I_1 = int_(- 1)^1 (x)/(1 + x^2) d x

Pra resolver essa questão, vamos fazer uma substituição de variável. Vem comigo!

u = 1 + x^2

Derivando,

d u = 2 x d x -> x d x = (1)/(2) d u

Como fizemos uma substituição, temos que mudar os limites de integração!

x = - 1 -> u = 1 + (- 1)^2 = 2

x = 1 -> u = 1 + (1)^2 = 2

Então nossa integral fica o seguinte:

I_1 = int_2^2 (1)/(u) (d u)/(2)

Como os limites de integração deram iguais, nossa integral será 0 .

I_1 = 0

Passo 3

No intervalo [ 1,3 [ :

f (x) = (x)/(1 + x^2)

Logo,

I_2 = int_1^3 (x)/(1 + x^2) d x

Pra resolver essa questão, vamos fazer a mesma substituição de variável.

u = 1 + x^2

Derivando,

d u = 2 x d x -> x d x = (1)/(2) d u

Como fizemos uma substituição, temos que mudar os limites de integração!

x = - 1 -> u = 1 + (1)^2 = 2

x = 1 -> u = 1 + (3)^2 = 10

Então nossa integral fica o seguinte:

I_2 = int_2^(10) (1)/(u) (d u)/(2) -> I_2 = (1)/(2) int_2^(10) (d u)/(u)

Não esquece: int (1)/(x) d x = ln | x | + c

Logo,

I_2 = (1)/(2) ln |u| |_2^(10)

Aplicando entre os pontos 2 e 10 :

I_2 = (1)/(2) (ln (10) - ln ( 2)

Isto é,

I_2 = (1)/(2) ln ( 5 )

Nossa integral

int_(- 1)^3 f (x) d x = I_1 + I_2

Substituindo os valores:

int_(- 1)^3 f (x) d x = (1)/(2) ln ( 5 )

Resposta

int_(- 1)^3 f (x) d x = (1)/(2) ln ( 5 )

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Suponha que f e f ' sejam de ordens exponencial γ 1 e γ 2 , respectivamente. Suponha, ainda, que f ' ' seja contínua. Verifique que ∫ 0 + ∞ e - s t f ' ' t d t = s 2 ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t - s f 0 -
Seja f uma função, com derivada contínua, e de ordem exponencial γ . Verifique que, para sγ , ∫ 0 + ∞ e - s t f ' t d t é convergente e que ∫ 0 + ∞ e - s t f ' t d t = s ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t - f 0
Procedendo como no exercício anterior, determine f tal que: f ' t - 2 f t = cos ⁡ t e f 0 = 2 . f ' t + f t = e 2 t e f 0 = - 1 .
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Seja f contínua em [ 0 , t ] , para todo t0 , e suponha que existem constantes M0 e γ0 tais que, para todo t ≥ 0 , f t ≤ M e γ t Prove que ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t é convergente para sγ .Observação. Um