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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 59

Calcule a integral.

int s e n^2 2 x cos^3 2 x d x

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

Bora calcular essa integral aí!

Primeiramente vamos tirar esse 2 x aí porque ele dificulta as coisas:

u = 2 x

d u = 2 d x

A nossa integral passa a ser:

(1)/(2) int s e n^2 u cos^3 u d u

Show!

Passo 2

Agora a gente vai usar a maravilhosa identidade trigonométrica:

s e n^2 u + cos^2 u = 1

cos^2 u = 1 - s e n^2 u

Substitui lá em cima agora:

(1)/(2) int s e n^2 u (1 - s e n^2 u) cos u d u

Beleza, tá começando a melhorar...

Passo 3

Agora pra ficar top mesmo a gente vai fazer outra substituição:

v = s e n u

d v = cos u d u

= (1)/(2) int v^2 (1 - v^2) d v

Olha que maravilha! Agora a gente integra em v :

= (1)/(2) int v^2 - v^4 d v

= (1)/(2) [(v^3)/(3) - (v^5)/(5)]

Passo 4

Agora é só a gente voltar para a variável u :

(1)/(2) [(s e n^3 u)/(3) - (s e n^5 u)/(5)]

E por fim voltamos para a variável x e somamos a constante!

(1)/(2) [(s e n^3 2 x)/(3) - (s e n^5 2 x)/(5)] + C

Agora prontinho! Integral calculada com sucesso!

Resposta

(1)/(2) [(s e n^3 2 x)/(3) - (s e n^5 2 x)/(5)] + C

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