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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 5

Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função (como no exemplo 7 ). Não determine os valores numéricos dos coeficientes .

  1. ∫ x 6 x 2 - 4   d x

  2. ∫ x 4 x 2 - x + 1 x 2 + 2 2   d x  

Passo 1

Opa! Bora pra mais uma?!

Aqui o enunciado quer que a gente escreva as formas de decomposição em frações parciais das funções.

  1. ∫ x 6 x 2 - 4   d x

  2. ∫ x 4 x 2 - x + 1 x 2 + 2 2   d x  

Ou seja, o enunciado quer que a gente pegue cada integral e “divida” ela em várias outras integrais usando frações parciais! Vamos ver como podemos fazer isso!

Passo 2

Vamos pra letra (a):

∫ x 6 x 2 - 4   d x

Precisamos reescrever o numerador, pois o grau é maior que o do denominador. Então fazendo uma divisão de polinômios, isto é, do numerador pelo denominador:

Ou seja, temos:

x 6 x 2 - 4 = x 4 + 4 x 2 + 16 + 64 ( x 2 - 4 )

Note que precisamos reescrever o denominador em termos de grau menor apenas, já que agora o grau do numerador é menor que o do denominador:

x 4 + 4 x 2 + 16 + 64 x 2 - 4 =   x 4 + 4 x 2 + 16 + 64 x + 2 x - 2

Passo 3

Agora é so separar cada termo do denominador da função no denominador de uma fração e coloca a constante no numerador, conforme as regrinhas do livro.:

x 4 + 4 x 2 + 16 + 64 x + 2 x - 2 =     x 4 + 4 x 2 + 16 + A x + 2 + B x - 2

Então:

∫ x 6 x 2 - 4   d x = ∫ x 4 + 4 x 2 + 16 + A x + 2 + B x - 2   d x

Passo 4

Vamos resolver o item b:

∫ x 4 x 2 - x + 1 x 2 + 2 2   d x  

Como o denominador é irredutível, devemos seguir a regrinha do livro apenas:

x 4 x 2 - x + 1 x 2 + 2 2 = A x + B x 2 - x + 1 + C x + D x 2 + 2 + E x + F x 2 + 2 2

Dessa forma temos:

∫ x 4 x 2 - x + 1 x 2 + 2 2   d x = ∫ A x + B x 2 - x + 1 + C x + D x 2 + 2 + E x + F x 2 + 2 2   d x

Resposta

∫ x 6 x 2 - 4   d x = ∫ x 4 + 4 x 2 + 16 + A x + 2 + B x - 2   d x

∫ x 4 x 2 - x + 1 x 2 + 2 2   d x = ∫ A x + B x 2 - x + 1 + C x + D x 2 + 2 + E x + F x 2 + 2 2   d x

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