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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.1 - Ex. 62

Seja y = 1 1 + x 2 . Encontre os valores de x nos quais y está crescendo e decrescendo mais rapidamente.

Passo 1

Então pessoal, a princípio temos que o ponto em que y cresce mais rápido é um ponto de inflexão (aonde a curva é mais acentuada), no qual há inversão de sinal de crescente para decrescente. Diametralmente oposto à isso, o ponto em que y decresce mais rápido também é um ponto de inflexão, no qual há inversão de sinal de decrescente para crescente. Para isso temos que encontrar a derivada segunda da função, se liga:

y = 1 1 + x 2

y ' = - 1 . 1 + x 2 - 2 . 2 x

y ' = - 2 x 1 + x 2 2

Beleza, a primeira derivada já encontramos.

Passo 2

Agora para encontrarmos a segunda derivada devemos utilizar a regra do quociente, se liga:

y ' ' = - 2 . 1 + x 2 2 + 2 x . 2 . 1 + x 2 . 2 x 1 + x 2 4

y ' ' = - 2 . 1 + x 2 2 + 8 x 2 . 1 + x 2 1 + x 2 4

Igualando a zero, temos que:

- 2 . 1 + x 2 2 + 8 x 2 . 1 + x 2 1 + x 2 4 = 0

2 . 1 + x 2 = 8 x 2

2 + 2 x 2 = 8 x 2

6 x 2 = 2

∴ x = ± 1 3

Do resultado podemos concluir que o valor de x no qual y está crescendo mais rapidamente é:

x = - 1 3

E o valor de x no qual y está decrescendo mais rapidamente é:

x = 1 3

E essa é a nossa resposta, galera!

Resposta

Máximo crescimento: x = - 1 3 ;

Máximo decrescimento: x = 1 3 .

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