Calcule a integral.

∫ 5 x 2 + 3 x - 2 x 3 + 2 x 2 d x

Passo 1

Temos que

5 x 2 + 3 x - 2 x 3 + 2 x 2 = 5 x 2 + 3 x - 2 x 2 ( x + 2 ) = A x + B x 2 + C x + 2

Passo 2

Se a gente multiplicar os dois lados por x ² ( x + 2 ) , a gente obtém 5 x 2 + 3 x - 2 = A x x + 2 + B x + 2 + C x 2 . Agora bora fazer as substituições.

Substituindo x por - 2 temos C = 3 , e substituindo por 0 , temos B = - 1 . Os coeficientes equivalentes de x 2 nos dão 5 = A + C → A = 2 .

Passo 3

Assim, resolvendo nossa integral temos

∫ 5 x 2 + 3 x - 2 x 3 + 2 x 2 d x = ∫ 2 x - 1 x 2 + 3 x + 2 d x = 2 ln ⁡ | x | + 1 x + 3 ln ⁡ x + 2 + C

Resposta

2 ln ⁡ | x | + 1 x + 3 ln ⁡ x + 2 + C .

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