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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 23

Calcule a integral.

int (5 x^2 + 3 x - 2)/(x^3 + 2 x^2) d x

Passo 1

Temos que

(5 x^2 + 3 x - 2)/(x^3 + 2 x^2) = (5 x^2 + 3 x - 2)/(x^2 ( x + 2 )) = (A)/(x) + (B)/(x^2) + (C)/(x + 2)

Passo 2

Se a gente multiplicar os dois lados por x ² ( x + 2 ) , a gente obtém 5 x^2 + 3 x - 2 = A x (x + 2) + B (x + 2) + C x^2 . Agora bora fazer as substituições.

Substituindo x por - 2 temos C = 3 , e substituindo por 0 , temos B = - 1 . Os coeficientes equivalentes de x^2 nos dão 5 = A + C -> A = 2 .

Passo 3

Assim, resolvendo nossa integral temos

int (5 x^2 + 3 x - 2)/(x^3 + 2 x^2) d x = int ((2)/(x) - (1)/(x^2) + (3)/(x + 2)) d x = 2 ln | x | + (1)/(x) + 3 ln |x + 2| + C

Resposta

2 ln | x | + (1)/(x) + 3 ln |x + 2| + C .

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