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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 43

  1. Faça uma substituição u apropriada e, então, use a tabela de integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS; use-o para calcular a integral (sem usar substituições) e, então, confirme que o resultado é equivalente ao de (a).

∫ 5 x - 9 x 2   d x

Passo 1

Para resolver esse exercício, fazermos as substituições com:

    u = 3 x

d u = 3 d x

Então, podemos dizer que:

∫ 5 x - 9 x 2   d x = ∫ 5 u 3 - u 2 . d u 3

∫ 5 x - 9 x 2   d x = 1 3 ∫ 5 u 3 - u 2   d u

Resolveremos a integral aplicando na seguinte fórmula:

∫ 2 a u - u 2 d u = u - a 2 2 a u - u 2 + a 2 2 arc sen ⁡ u - a a + C

Se 2 a = 5 3 :

∫ 5 x - 9 x 2   d x = 1 3 u - 5 6 2 5 u 3 - u 2 + 5 6 2 2 arc sen ⁡ u - 5 6 5 6 + C

∫ 5 x - 9 x 2   d x = 1 3 6 u - 5 2.6 5 u 3 - u 2 + 25 2.36 arc sen ⁡ 6 u - 5 5 6 . 6 + C

Substituindo u :

∫ 5 x - 9 x 2   d x = 1 3 18 x - 5 12 5 x - 9 x 2 + 25 72 arc sen ⁡ 18 x - 5 5 + C

Simplificando:

∫ 5 x - 9 x 2   d x = 18 x - 5 36 5 x - 9 x 2 + 25 216 arc sen ⁡ 18 x - 5 5 + C

Resposta

∫ 5 x - 9 x 2   d x = 18 x - 5 36 5 x - 9 x 2 + 25 216 arc sen ⁡ 18 x - 5 5 + C

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