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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 67

Faça uma substituição u dada por (5) para converter o integrando em uma função racional de u e, então, calcule a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral (sem usar substituições) e, então, confirme que o resultado é equivalente de (a).

∫ d θ 1 - cos ⁡ θ

Passo 1

Usaremos como substituição:

u = tg ⁡ θ 2

cos ⁡ θ   = 1 - u 2 1 + u 2

d θ = 2 1 + u 2 d u  

Portanto:

∫ d θ 1 - cos ⁡ θ = ∫ 2 1 + u 2 d u   1 - 1 - u 2 1 + u 2

Reescreveremos como:

∫ 2 1 + u 2 d u   1 - 1 - u 2 1 + u 2 = ∫ 2 1 + u 2 d u   1 + u 2 - 1 + u 2 1 + u 2 = ∫ 2 1 + u 2 d u   2 u 2 1 + u 2 = ∫ 2 ( 1 + u 2 ) d u   2 u 2 ( 1 + u 2 )

Então:

∫ d θ 1 - cos ⁡ θ = ∫ d u   u 2 =   ( u - 1 ) - 1 + C = - 1 u + C

Substiuindo u = tg ⁡ θ 2 :

∫ d θ 1 - cos ⁡ θ = - 1 tg ⁡ θ 2 + C

Passo 2

Utilizando um CAS:

Resposta

∫ d θ 1 - cos ⁡ θ = - 1 tg ⁡ θ 2 + C

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