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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 59

Faça uma substituição u apropriada da forma u = x 1 / n ou u = x + a 1 / n e, então, calcule a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, confirme que o resultado é equivalente ao de (a).

∫ d x x 1 - x 1 4  

Passo 1

Faça uma substituição da forma u = x 1 / n .

Se :

u = x 1 / 4

u 4 = x

4 u 3 d u = d x

Podemos reescrever a equação como:

∫ d x x 1 - x 1 4   = ∫ 4 u 3 d u u 4 ( 1 - u ) = 4 ∫ u 3 d u u 4 ( 1 - u )    

Simplificando a integral:

∫ d x x 1 - x 1 4 = 4 ∫ d u u ( 1 - u )

∫ d x x 1 - x 1 4 = 4 ∫ 1 u - 1 1 - u d u

Resolvendo a integral:

∫ d x x 1 - x 1 4 = 4 ln ⁡ u - 4 ln ⁡ 1 - u + C = 4 ln ⁡ u 1 - u + C

Substituindo u = x 1 / 4 :

∫ d x x 1 - x 1 4 = 4 ln ⁡ x 1 / 4 1 - x 1 / 4 + C

Passo 2

Usando um CAS (pode ser até mesmo um programa online como é o caso do Symbolab):

Resposta

∫ d x x 1 - x 1 4 = 4 ln ⁡ x 1 / 4 1 - x 1 / 4 + C

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