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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 10

Calcule a Integral abaixo:

10 – int_0^((pi)/(6)) 3 cos^5 3 x d x

Passo 1

Primeiro vamos expandir a equação, observe:

3 int_0^((pi)/(6)) c o s^2 (3 x) c o s^2 (3 x) c o s (3 x) d x

Dado pela identidade trigonométrica, cos^2 ( 3 x ) = 1 - s e n^2 3 x

Assim teremos:

3 int_0^((pi)/(6)) (1 - sen^2 (3 x)) (1 - sen^2 (3 x)) c o s (3 x) d x

Vamos realizar pelo método da substituição, dado:

u = s e n ( 3 x )

d u = 3 cos ( 3 x )

d x = (1)/(d u) = (1)/(3 cos ( 3 x ))

Substituindo teremos:

3 int_0^((pi)/(6)) (1 - u^2) (1 - u^2) * c o s (3 x) * (1)/(3 cos 3 x) d u

Resolvendo a integral temos:

3 int_0^((pi)/(6)) (u^4 - 2 u^2 + 1) * (cos 3 x)/(3 cos 3 x) d u

3 int_0^((pi)/(6)) (1)/(3) (u^4 - 2 u^2 + 1) d u

Substituindo por udu, teremos:

(3)/(3) int_0^((pi)/(6)) u^4 - 2 u^2 + 1 d u = int_0^((pi)/(6)) u^4 - 2 u^2 + 1 d u

Passo 2

Resolvendo a integral de forma indefinida:

(u^5)/(5) - (2 u^3)/(3) + u

Substituindo para u = sen 3 x

(s e n^5 (3 x))/(5) - (2 s e n^3 3 x)/(3) + s e n 3 x

Passo 3

Resolvendo a integral como definida: [(s e n^5 (3 x))/(5) - (2 s e n^3 3 x)/(3) + s e n 3 x + c]_0^((pi)/(6))

(s e n^5 ((3 pi)/(6)))/(5) - (2 s e n^3 ((3 pi)/(6)))/(3) + s e n ((3 pi)/(6)) + c - [(s e n^5 (3 * 0))/(5) - (2 s e n^3 (3 * 0))/(3) + s e n (3 * 0) + c]

Seja sen ((pi)/(2)) = 1 e sen (0) = 0

(1)/(5) - (2 (1))/(3) + (1) + C - [(0)/(5) - (2 (0))/(3) + 0 + c]

Resolvendo os cálculos teremos:

(1)/(5) - (2)/(3) + 1 + c - 0 + 0 + 0 - c

(1)/(5) - (2)/(3) + 1 =

(3)/(15) - (10)/(15) + (15)/(15) = (8)/(15)

Resposta

(8)/(15)

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