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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 7t

t) int_((pi)/(3))^((pi)/(2)) s e n^3 (x) d x

Passo 1

Olá, pessoal! Quando a gente olha para essa integral, a gente já pensa que não tem como resolver por substituição simples, uma vez que só temos um s e n^3 x . Mas a malandragem aqui é usar uma identidade trigonométrica para transformar em uma função com seno e cosseno.

Essa é uma questão bem importante, pois a ideia dela serve para diversas outras! Dá uma olhada na malandragem:

Agora vamos aplicar!

Passo 2

Então vamos começar aplicando a identidade trigonométrica,

s e n^2 x = 1 - cos^2 x

Portanto com essa substituição, se reescrevermos a integral para:

int sen^3 (x) d x = int sen^2 (x) * sen (x) d x = int (1 - cos^2 x) * sen (x) d x

Agora vamos fazer a substituição simples,

u = cos x

d u = - sen (x) d x

Vemos que podemos substituir:

int sen^3 (x) d x = - int (1 - u^2) d u

int sen^3 (x) d x = int (u^2 - 1) d u

Agora vamos resolver essa integral

Passo 3

Integrando,

int (u^2 - 1) d u = (u^3)/(3) - u

Mas para aplicar os limites de integração, temos que voltar a integral para x .

Então temos,

int_((pi)/(3))^((pi)/(2)) s e n^3 (x) d x = [(cos^3 x)/(3) - cos x] ((pi)/(2))/((pi)/(3))

Agora é só finalizar!

Passo 4

Aplicando os limites de integração, temos que

int_((pi)/(3))^((pi)/(2)) s e n^3 (x) d x = [(cos^3 x)/(3) - cos x] ((pi)/(2))/((pi)/(3)) =

= ((cos^3 ((pi)/(2)))/(3) - cos (pi)/(2)) - ((cos^3 ((pi)/(3)))/(3) - cos (pi)/(3)) = (11)/(24)

Resposta

int_((pi)/(3))^((pi)/(2)) s e n^3 (x) d x = (11)/(24)

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