t) ∫ π 3 π 2 s e n 3 x d x

Passo 1

Olá, pessoal! Quando a gente olha para essa integral, a gente já pensa que não tem como resolver por substituição simples, uma vez que só temos um s e n 3 x . Mas a malandragem aqui é usar uma identidade trigonométrica para transformar em uma função com seno e cosseno.

Essa é uma questão bem importante, pois a ideia dela serve para diversas outras! Dá uma olhada na malandragem:

Agora vamos aplicar!

Passo 2

Então vamos começar aplicando a identidade trigonométrica,

s e n 2 x = 1 - cos 2 ⁡ x

Portanto com essa substituição, se reescrevermos a integral para:

∫ sen 3 ⁡ x   d x = ∫ sen 2 ⁡ x ∙ sen ⁡ x   d x = ∫ 1 - cos 2 ⁡ x ∙ sen ⁡ x   d x

Agora vamos fazer a substituição simples,

u = cos ⁡ x

d u = - sen ⁡ x   d x

Vemos que podemos substituir:

∫ sen 3 ⁡ x   d x = - ∫ 1 - u 2 d u

∫ sen 3 ⁡ x   d x = ∫ u 2 - 1   d u

Agora vamos resolver essa integral

Passo 3

Integrando,

∫ u 2 - 1   d u = u 3 3 - u

Mas para aplicar os limites de integração, temos que voltar a integral para x .

Então temos,

∫ π 3 π 2 s e n 3 x d x = cos 3 ⁡ x 3 - cos ⁡ x π 2 π 3

Agora é só finalizar!

Passo 4

Aplicando os limites de integração, temos que

∫ π 3 π 2 s e n 3 x d x = cos 3 ⁡ x 3 - cos ⁡ x π 2 π 3 =

= cos 3 ⁡ π 2 3 - cos ⁡ π 2 - cos 3 ⁡ π 3 3 - cos ⁡ π 3 = 11 24

Resposta

∫ π 3 π 2 s e n 3 x d x = 11 24

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