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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 7c

c) int_1^2 x (x^2 - 1)^5 d x

Passo 1

Nessas situações não tem magica, é motivação! E essa é bem comum (substituição de variável)

Vamos pegar x^2 - 1 que é a mais complexa e chamar de u

u = x^2 - 1 ( * )

Derivando,

d u = 2 x d x

Não esquece: Se fizemos uma substituição, então temos que mudar os limites de integração!!!

Passo 2

Agora vamos arrumar a casa!

Primeiramente, temos que mudar os limites de integração usando ( * )

x = 1 -> u = 1^2 - 1 = 0 x = 2 -> u = 2^2 - 1 = 3

Repara que quando derivamos apareceu d u = 2 x d x que é basicamente (d u)/(2) = x d x .

Nossa integral era:

int_1^2 x (x^2 - 1)^5 d x = int_1^2 (x^2 - 1)^5 x d x

E vai ficar assim ó

int_0^3 (u)^5 (d u)/(2) = (1)/(2) * int_0^3 (u)^5 d u

Não esquece: int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + c quando n != - 1

Passo 3

Agora vamos terminar!

(1)/(2) * int_0^3 (u)^5 d u = (1)/(2) * (u^6)/(6) (​|_3^4 = (3^6)/(12) - (0^6)/(12) = (243)/(4)

Resposta

(243)/(4)

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