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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 7q

q) int_0^((pi)/(6)) cos (x) s e n^5 (x) d x

Passo 1

Olá, galerinha! Essa integral a primeira vista parecer ser bem complicada, né?

Mas vamos tentar fazer uma substituição simples para ver se facilita a nossa vida.

O truque é buscarmos uma relação função e derivada dentro dessa integral.

Vamos lá!

Passo 2

Então temos a seguinte integral,

int_0^((pi)/(6)) cos (x) s e n^5 (x) d x

Se chamarmos,

u = s e n x

Derivando para encontrar o nosso d u ,

d u = c o s x d x

Substituindo,

int u^5 d u

Resolvendo essa integral, ficamos com

int u^5 d u = (u^6)/(6)

Agora vamos voltar de u para x para aplicar os limites de integração,

int_0^((pi)/(6)) cos (x) s e n^5 (x) d x = (s e n^6 x)/(6) |_0^((pi)/(6))

Passo 3

Agora vamos terminar!

int_0^((pi)/(6)) cos (x) s e n^5 (x) d x = (s e n^6 x)/(6) |_0^((pi)/(6)) =

= ((s e n^6 ((pi)/(6)))/(6)) - ((s e n^6 (0))/(6)) = (((1)/(2))^6)/(6) - 0 = (1)/(384)

Resposta

(1)/(384)

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Se você não souber qual substituição fazer, tente reduzir a integral passo a passo, usando uma primeira substituição para simplificar um pouco a integral e depois outra para simplificar um pouco mais.
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