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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 7j

j) int_0^1 (s)/(sqrt(s^2 + 1)) d s

Passo 1

A motivação nessa questão será fazer uma substituição de variável pra tentar trabalhar melhor com aquela raiz ali embaixo:

u = s^2 + 1 ( * )

Derivando,

d u = 2 s d s

Não esquece: Se fizemos uma substituição, então temos que mudar os limites de integração!!!

Passo 2

Agora vamos arrumar a casa!

Primeiramente, temos que mudar os limites de integração usando ( * )

s = 0 -> u = 0^2 + 1 = 1

s = 1 -> u = 1^2 + 1 = 2

Repara que quando derivamos apareceu que d u = 2 s d s que é basicamente (d u)/(2) = s d s

Nossa integral era:

int_0^1 (s)/(sqrt(s^2 + 1)) d s = int_0^1 (1)/(sqrt(s^2 + 1)) s d s e vai ficar assim ó:

int_1^2 (1)/(sqrt(u)) (d u)/(2) Não esquece: int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) quando n != - 1

Passo 3

Agora é só terminar!

int_1^2 (1)/(sqrt(u)) (d u)/(2) = (1)/(2) * int_1^2 (d u)/(sqrt(u)) = (1)/(2) * (u^(- (1)/(2) + 1))/(- (1)/(2) + 1) |_1^2 = ((1)/(2) * sqrt(u))/((1)/(2)) |_1^2 = sqrt(u) |_1^2 = sqrt(2) - 1

Resposta

sqrt(2) - 1

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