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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 18

Calcule a Integral abaixo:

18 - int 8 cos^4 (2 pi x) d x

Passo 1

Primeiramente vamos expandir a integral e passar a constante multiplicativa, neste caso o 8 para fora da integral, veja:

8 int ( cos^2 ( 2 pi x ) )^2 d x

Vamos realizar substituição, observe:

u = 2 pi x

d u = 2 pi

d x = (1)/(d u) = (1)/(2 pi)

Desta forma temos:

8 int (1)/(2 pi) ( cos^2 ( u ) )^2 d x = (8)/(2 pi) int (cos^2 (u))^2 d u = (4)/(pi) int (cos^2 (u))^2 d u

Assim teremos:

(4)/(pi) int cos^4 (u) d u

Passo 2

Vamos explicar uma propriedade de integral, utilizada para int cos^n ( x ) d x , observe:

int cos^n x d x = - (1)/(n) * c o s^(n - 1) x * sen x + (n - 1)/(n) * int c o s^(n - 2) x d x

7 int cos^2 t + cos^2 t + cos^2 t + cos t d t

Vamos colocar em prática na integral indicada, vamos lá:

(4)/(pi) int cos^4 u d u = - (1)/(4) * cos^(4 - 1) u * s e n u + (4 - 1)/(4) * int cos^(4 - 2) u d u

Deste modo teremos:

(4)/(pi) [- (1)/(4) * cos^3 u * s e n u + (3)/(4) * int cos^2 u d u]

Para desenvolver a fórmula, agora vamos resolver a integral de int cos^2 u d u

Dado pela identidade trigonométrica, cos^2 u = (1 + cos ( 2 u ))/(2) = (1)/(2) * ( 1 + cos (2 u) )

- Os valores de identidade trigonométrica são encontrados em tabelas prontas !

Assim:

int (1)/(2) ( 1 + cos 2 u ) d u

(1)/(2) int ( 1 + cos 2 u ) d u = (1)/(2) [int 1 d u + int cos 2 u d u]

Sendo:

int 1 d u = u + c , s e n d o t a m b é m : int cos 2 u d u = (s e n ( 2 u ))/(2) + c

Substituindo todo valor na expressão:

(4)/(pi) [- (1)/(4) * cos^3 u * s e n u + (3)/(4) * (1)/(2) * (u + (s e n ( 2 u ))/(2))]

Resolvendo a multiplicação:

(4)/(pi) [- (1)/(4) * cos^3 u * s e n u + (3)/(8) * (u + (s e n ( 2 u ))/(2))] = (4)/(pi) [(- cos^3 u)/(4) * s e n u + (3 u)/(8) + (3 s e n (2 u))/(16)] + c

Multiplicando a expressão por (4)/(pi)

[(- 4 cos^3 u)/(4 pi) * s e n u + (12 u)/(8 pi) + (12 s e n (2 u))/(16 pi)] + c = (- 4 cos^3 u)/(4 pi) * s e n u + (12 u)/(8 pi) + (12 s e n (2 u))/(16 pi) + c

Passo 3

Substituindo u = 2 pi x

- (4 cos^3 (2 pi x))/(4 pi) * s e n u + (12 * 2 pi x)/(8 pi) + (12 s e n (2 * 2 pi x))/(16 pi) + c

Resolvendo as multiplicações e simplificando a expressão:

- (4 cos^3 (2 pi x))/(4 pi) * s e n 2 pi x + (24 pi x)/(8 pi) + (12 s e n (4 pi x))/(16 pi) + c

- (cos^3 (2 pi x))/(pi) * s e n (2 pi x) + 3 x + (3 s e n (4 pi x))/(4 pi) + c

= - (1)/(pi) cos^3 (2 pi x) * s e n (2 pi x) + 3 x + (3)/(4 pi) s e n (4 pi x) + c

Resposta

= - (1)/(pi) cos^3 (2 pi x) s e n (2 pi x) + 3 x + (3)/(4 pi) s e n (4 pi x) + c

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