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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.5 - Ex. 17

Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular a integral do Exercício abaixo:

16 -

∫ x cos - 1 ⁡ x   d x

Passo 1

Utilizaremos a fórmula 107 da página 632.

∫ x n cos - 1 ⁡ a x   d x = x n + 1 n + 1 cos - 1 ⁡ a x + a n + 1 ∫ x n + 1 d x 1 - a ² x ²

Dado:

a = 1   n = 1

Substituindo na fórmula temos:

∫ x cos - 1 ⁡ x   d x = x 1 + 1   1 + 1 cos - 1 ⁡ x + 1 1 + 1 ∫ x 1 + 1 d x 1 - 1 ² x ²

Organizando:

∫ x cos - 1 ⁡ x   d x = x 2   2 cos - 1 ⁡ x + 1 2 ∫ x 2 1 - x ² d x

Passo 2

Resolvendo a segunda Integral:

∫ x 2 1 - x ² d x

Utilizaremos a fórmula 49 da página 630:

∫ x 2 a 2 - x ² d x = a 2 2 s e n - 1 x a - 1 2 x a 2 - x 2 d x  

Aplicando na fórmula:

∫ x 2 1 - x ² d x =   1 2 2 s e n - 1 x 1 - 1 2 x 1 2 - x 2 d x = 1 2 s e n - 1 x - 1 2 x 1 - x ²  

Passo 3

Juntando o resultado das integrais:

x 2   2 cos - 1 ⁡ x + 1 2 1 2 s e n - 1 x - 1 2 x 1 - x ² + C

Organizando os termos:

x 2   2 cos - 1 ⁡ x + 1 4 s e n - 1 x - 1 4 x 1 - x ² + C

Resposta

x 2   2 cos - 1 ⁡ x + 1 4 s e n - 1 x - 1 4 x 1 - x ² + C

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