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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 7f

f) int_0^1 x sqrt(1 + 2 x^2) d x

Passo 1

A motivação nessa questão será fazer uma substituição de variável. Olhou pra dentro da raiz e já viu né? Vamos chamar 1 + 2 x^2 de u porque quando fizermos a derivada fica assim ó:

u = 1 + 2 x^2 ( * )

Derivando,

d u = 4 x d x

Viu que apareceu o produto x d x , né?

Não esquece: Se fizemos uma substituição, então temos que mudar os limites de integração!!!

Passo 2

Agora vamos arrumar a casa!

Primeiramente, temos que mudar os limites de integração usando ( * )

x = 0 -> u = 1 + 2 * 0^2 = 1

x = 1 -> u = 1 + 2 * 1^2 = 3

Repara que quando derivamos apareceu que d u = 4 x d x que é basicamente (d u)/(4) = x d x 😉

Nossa integral era:

int_0^1 x sqrt(1 + 2 x^2) d x = int_0^1 sqrt(1 + 2 x^2) x d x

e vai ficar assim ó:

int_1^3 sqrt(u) (d u)/(4)

Não esquece: int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + c quando n != - 1

Passo 3

Agora é só terminar!

int_1^3 sqrt(u) (d u)/(4) = (1)/(4) * int_1^3 sqrt(u) d u = (1)/(4) * (u^((1)/(2) + 1))/(1 + (1)/(2)) (​|_1^3 = (1)/(4) * (2)/(3) (3^((3)/(2)) - 1^((3)/(2))) = (1)/(6) * ( 3 sqrt(3) - 1 )

Resposta

(1)/(6) ( 3 sqrt(3) - 1 )

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