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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 7h

h) int_0^1 (1)/(1 + 4 s) d s

Passo 1

A motivação nessa questão será fazer uma substituição de variável até porque ta bem parecido com uma integral que a gente conhece ( int (d u)/(u) ) :

u = 1 + 4 s ( * )

Derivando,

d u = 4 d s

Não esquece: Se fizemos uma substituição, então temos que mudar os limites de integração!!!

Passo 2

Agora vamos arrumar a casa!

Primeiramente, temos que mudar os limites de integração usando ( * )

s = 0 -> u = 1 + 4 * 0 = 1

s = 1 -> u = 1 + 4 * 1 = 5

Repara que quando derivamos apareceu que d u = 4 d s que é basicamente (d u)/(4) = d s 😉

Nossa integral era:

int_0^1 (1)/(1 + 4 s) d s

e vai ficar assim ó:

int_1^5 (1)/(u) (d u)/(4) = (1)/(4) * int_1^5 (d u)/(u)

Não esquece: int (d u)/(u) = ln (u) + c

Passo 3

Agora é só terminar!

(1)/(4) * int_1^5 (d u)/(u) = (1)/(4) * ln (u) |_1^5 = (1)/(4) * ( ln (5) - ln (1) ) = (ln (5))/(4)

Resposta

(ln (5))/(4)

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