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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 7g

g) int_1^2 (3 s)/(1 + s^2) d s

Passo 1

A motivação nessa questão será fazer uma substituição de variável. Vamos chamar 1 + s^2 de u porque quando fizermos a derivada fica assim ó:

u = 1 + s^2 ( * )

Derivando,

d u = 2 s d s

Viu que apareceu s d s , né?

Não esquece: Se fizemos uma substituição, então temos que mudar os limites de integração!!!

Passo 2

Agora vamos arrumar a casa!

Primeiramente, temos que mudar os limites de integração usando ( * )

s = 1 -> u = 1 + 1^2 = 2

e s = 2 -> u = 1 + 2^2 = 5

Repara que quando derivamos apareceu que d u = 2 s d s que é basicamente (d u)/(2) = s d s 😉

Nossa integral era:

int_1^2 (3 s)/(1 + s^2) d s = int_1^2 (3)/(1 + s^2) s d s

e vai ficar assim ó:

int_2^5 (3)/(u) (d u)/(2)

Não esquece: int (d u)/(u) = ln | u | + c

Passo 3

Agora é só terminar!

int_2^5 (3)/(u) (du)/(2) = (3)/(2) * int_2^5 (du)/(u) = (3)/(2) * ln (| u |) |_2^5 = (3)/(2) * (ln (5) - ln (2)) = (3)/(2) * ln ((5)/(2))

Resposta

(3)/(2) ln ((5)/(2))

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