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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 7o

7. Calcule.

o) int_0^(sqrt(3)) x^3 sqrt(x^2 + 1) d x

Passo 1

Opaaa... beleza???

Aqui é podemos fazer a substituição:

x^2 + 1 = u -> x^2 = u - 1

E derivando:

2 x d x = d u -> x d x = (d u)/(2)

Agora pros intervalos de integração:

x = 0 -> u = 1

x = sqrt(3) -> u = 4

Fazendo umas manipulações:

int_0^(sqrt(3)) x^3 sqrt(x^2 + 1) d x = int_0^(sqrt(3)) x^2 sqrt(x^2 + 1) x d x

Passo 2

A integral vai ficar, então:

int_1^4 ((u - 1) sqrt(u))/(2) d u = int_1^4 ((u - 1) (u)^((1)/(2)))/(2) d u

= int_1^4 (u^((3)/(2)) - u^((1)/(2)))/(2) d u

= int_1^4 (u^((3)/(2)))/(2) d u - int_1^4 (u^((1)/(2)))/(2) d u

Resolvendo:

= [(u^((5)/(2)))/(2 ((5)/(2)))]_1^4 - [(u^((3)/(2)))/(2 ((3)/(2)))]_1^4

= [(u^((5)/(2)))/(5)]_1^4 - [(u^((3)/(2)))/(3)]_1^4

= ((4^((5)/(2)))/(5) - (1)/(5)) - ((4^((5)/(2)))/(3) - (1)/(3))

Muuuito cuidado com o algebrismo, ok???

= (((2^2)^((5)/(2)))/(5) - (1)/(5)) - (((2^2)^((3)/(2)))/(3) - (1)/(3))

= ((2^5)/(5) - (1)/(5)) - ((2^3)/(3) - (1)/(3))

= (31)/(5) - (7)/(3)

= (58)/(15)

Acabamos essa. Bora pra próxima??

Resposta

(58)/(15)

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