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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 7l

l) int_0^3 (x^2)/(sqrt(x + 1)) d x

Passo 1

A motivação nessa questão será fazer uma substituição de variável pra tentar trabalhar melhor com aquela raiz ali embaixo:

u = sqrt(x + 1) ( * )

Derivando,

d u = (1)/(2) (1)/(sqrt(x + 1)) d x

Não esquece: Se fizemos uma substituição, então temos que mudar os limites de integração!!!

Passo 2

Agora vamos arrumar a casa!

Primeiramente, temos que mudar os limites de integração usando ( * )

x = 0 -> u = sqrt(0 + 1) = 1

x = 3 -> u = sqrt(3 + 1) = 2

Repare que quando derivamos apareceu d u = (1)/(2) (1)/(sqrt(x + 1)) d x que é basicamente 2 d u = (1)/(sqrt(x + 1)) d x Além disso, u^2 = x + 1 .

Nossa integral era:

int_0^3 (x^2)/(sqrt(x + 1)) d x = int_0^3 x^2 (d x)/(sqrt(x + 1))

e vai ficar assim ó:

int_1^2 (u^2 - 1)^2 2 d u

Não esquece: int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + c quando n != - 1

Passo 3

Agora é só terminar!

int_1^2 (u^2 - 1)^2 2 d u = 2 * int_1^2 (u^2 - 1)^2 d u = 2 * int_1^2 (u^4 - 2 u^2 + 1) d u =

2 * ((u^5)/(5) - (2 u^3)/(3) + u) |_1^2 = 2 * (((2^5)/(5) - 2 * (2^3)/(3) + 2) - ((1^5)/(5) - 2 * (1^3)/(3) + 1)) = (76)/(15)

Resposta

(76)/(15)

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