l)   ∫ 0 3 x 2 x + 1   d x  

Passo 1

A motivação nessa questão será fazer uma substituição de variável pra tentar trabalhar melhor com aquela raiz ali embaixo:

u = x + 1       ( * )

Derivando,

d u = 1 2 1 x + 1       d x

Não esquece: Se fizemos uma substituição, então temos que mudar os limites de integração!!!

Passo 2

Agora vamos arrumar a casa!

Primeiramente, temos que mudar os limites de integração usando ( * )

x = 0 → u = 0 + 1 = 1

x = 3 → u =   3 + 1 = 2

Repare que quando derivamos apareceu d u = 1 2 1 x + 1     d x que é basicamente 2   d u =   1 x + 1     d x Além disso, u 2 = x + 1   .

Nossa integral era:

∫ 0 3 x 2 x + 1   d x = ∫ 0 3 x 2 d x x + 1    

e vai ficar assim ó:

∫ 1 2 u 2 - 1 2   2 d u  

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c     quando   n   ≠ - 1  

Passo 3

Agora é só terminar!

∫ 1 2 u 2 - 1 2   2   d u   = 2 ⋅ ∫ 1 2 u 2 - 1 2 d u   =   2 ⋅ ∫ 1 2 u 4 - 2 u 2 + 1   d u   =

2 ⋅ u 5 5 - 2 u 3 3 + u | 1 2 = 2 ⋅ 2 5 5 - 2 ⋅ 2 3 3 + 2 -   1 5 5 - 2 ⋅ 1 3 3 + 1 = 76 15

Resposta

76 15

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