Resolve a integral abaixo:

25 –

∫ 0 π 1 - s e n 2 t   d t

Passo 1

Primeiramente é relembrar da identidade trigonométrica de:

cos 2 ⁡ t = 1 - s e n 2 t

Substituindo na integral temos:

∫ 0 π cos 2 ⁡ t d t

Passo 2

Simplificando a expressão com o radical:

∫ 0 π c o s 2 t 2   d t =   ∫ 0 π cos ⁡ t   d t

Agora vamos eliminar os absolutos, ou seja encontrar expressões que serão equivalentes a cos ⁡ t   em 0 ≤ t ≤ π

Assim temos:

0 ≤ t ≤ π 2 : cos ⁡ t

e

π 2 ≤ t ≤ π :   ( - cos ⁡ t )

Inserindo na integral como limites, temos:

∫ 0 π 2 cos ⁡ t   d t +   ∫ π 2 π - cos ⁡ t   d t

Dado:

∫ cos ⁡ t   d t = s e n   t + c

Substituindo com os limites temos:

sen ⁡ t 0 π / 2 + - sen ⁡ t π / 2 π

Passo 3

sen ⁡ t 0 π / 2 + - sen ⁡ t π / 2 π

Realizando os limites de integração:

sen ⁡ π 2 - sen ⁡ 0 + -   s e n   π - - s e n π 2

Dado: sen ⁡ π = 0   , sen  ⁡ 0 = 0 ,   s e n   π 2 = 1

1 - 0 + - 0 - ( - 1 )  

1 + 1 = 2

Resposta

2

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