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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 25

Resolve a integral abaixo:

25 –

int_0^(pi) sqrt(1 - s e n^2 t) d t

Passo 1

Primeiramente é relembrar da identidade trigonométrica de:

cos^2 t = 1 - s e n^2 t

Substituindo na integral temos:

int_0^(pi) sqrt(cos^2 t) d t

Passo 2

Simplificando a expressão com o radical:

int_0^(pi) root(2)(c o s^2 t) d t = int_0^(pi) |cos t| d t

Agora vamos eliminar os absolutos, ou seja encontrar expressões que serão equivalentes a |cos t| em 0 <= t <= pi

Assim temos:

0 <= t <= (pi)/(2) : cos (t)

e

(pi)/(2) <= t <= pi : ( - cos (t) )

Inserindo na integral como limites, temos:

int_0^((pi)/(2)) cos t d t + int_((pi)/(2))^(pi) - cos t d t

Dado:

int cos t d t = s e n t + c

Substituindo com os limites temos:

[sen t]_0^(pi // 2) + [- sen t]_(pi // 2)^(pi)

Passo 3

[sen t]_0^(pi // 2) + [- sen t]_(pi // 2)^(pi)

Realizando os limites de integração:

[(sen (pi)/(2)) - (sen 0)] + [- s e n pi - (- s e n (pi)/(2))]

Dado: sen (pi) = 0 , sen (0) = 0 , s e n ((pi)/(2)) = 1

[1 - 0] + [- 0 - ( - 1 )]

1 + 1 = 2

Resposta

2

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