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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.3 - Ex. 56

Calcule a integral:

int_0^((pi)/(2)) 2 s e n h (s e n theta) cos theta d theta

Passo 1

Vamos usar uma substituição para facilitar nosso trabalho:

u = s e n theta -> d u = cos theta d theta

Assim, vamos escrever a integral indefinida:

int 2 s e n h u d u

Vamos resolver em u , e depois voltamos para a variável theta ...

int 2 s e n h u d u = 2 c o s h u + C = 2 cosh (s e n theta) | ((pi)/(2))/(0)

Passo 2

Vamos jogar os limites de integração agora e resolver:

2 cosh ( s e n theta ) |_0^((pi)/(2)) = 2 ( cosh 1 - cosh 0 )

Sabendo que cosh x = (e^x + e^(- x))/(2) então vamos substituir e encontrar o valor da integral:

2 ( cosh x = (e^1 + e^(- 1))/(2) - ((e^0 + e^0)/(2)) = (e^1 + e^(- 1) - e^0 - e^0)/(2) = e + e^(- 1) - 2

E pronto!

Resposta

e + e^(- 1) - 2

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