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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.8 - Ex. 4

Expresse a integral indefinida em termos de uma função hiperbólica inversa e como um logaritmo natural.

∫ 1 25 - x 2   d x

Passo 1

A questão pede para expressarmos a integral em termos de funções hiperbólicas. Note que não é pedido para calcularmos a integral, devemos apenas expressar o resultado em termos das funções hiperbólicas. Para isso, você precisa dar uma olhada no teorema 9.8.4.

Neste caso, temos

I = ∫ 1 25 - x 2   d x

Se olharmos no teorema 9.8.4 vamos encontrar a fórmula

∫ 1 a 2 - u 2   d u = 1 a tanh - 1 ⁡ u a + C ,         s e   u < a 1 a c o t a n h - 1 u a + C ,         s e   u > a   = 1 2 a ln ⁡ a + u a - u + C

Passo 2

Assim, com x = u e a = 5 , temos que

I = 1 5 tanh - 1 ⁡ x 5 + C ,         s e   x < 5 1 5 c o t a n h - 1 x 5 + C ,         s e   x > 5   = 1 10 ln ⁡ 5 + x 5 - x + C

Para calcular essa integral na raça, poderíamos ter utilizado frações parciais ou a substituição x = 5   s e n   θ .

Resposta

1 5 tanh - 1 ⁡ x 5 + C ,         s e   x < 5 1 5 c o t a n h - 1 x 5 + C ,         s e   x > 5   = 1 10 ln ⁡ 5 + x 5 - x + C

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