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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 38

Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

38 . ∫ 1 x x 2 + x + 1 d x

Passo 1

Para começarmos a resolver essa integral, vamos fazer uma substituição da seguinte maneira:

u = x + 1 2 ⇒ x = u - 1 2

d u = d x

Logo teremos o seguinte:

∫ 1 x x 2 + x + 1 d x = ∫ 1 u - 1 2 u - 1 2 2 + u - 1 2 + 1 d u

= ∫ 1 2 u - 1 2 u 2 - u + 1 4 + u - 1 2 + 1 d u

= ∫ 1 2 u - 1 2 u 2 + 3 4 d u

= ∫ 1 2 u - 1 2 4 u 2 + 3 4 d u

= ∫ 1 2 u - 1 2 ⋅ 1 2 4 u 2 + 3 d u

= ∫ 4 2 u - 1 4 u 2 + 3 d u

Passo 2

Agora vamos fazer mais uma substituição, agora trigonométrica da forma:

u = 1 2 3   t g θ

d u = 1 2 3 sec 2 ⁡ θ   d θ

Nossa integral fica da seguinte forma:

∫ 4 2 u - 1 4 u 2 + 3 d u = 4 ∫ 1 2 1 2 3   t g θ - 1 4 1 2 3   t g θ 2 + 3 1 2 3 sec 2 ⁡ θ   d θ

= 4 ∫ 3 sec 2 ⁡ θ 2 3   t g θ - 1 3 t g 2 θ + 3 d θ

= 2 ∫ 3 sec 2 ⁡ θ 3   t g θ - 1 3 t g 2 θ + 1 d θ

= 2 ∫ sec 2 ⁡ θ 3   t g θ - 1 sec 2 ⁡ θ d θ

= 2 ∫ sec ⁡ θ 3   t g θ - 1 d θ

Passo 3

Mais uma vez teremos que fazer substituição para tentar deixar nossa integral mais simples, agora vamos fazer:

s = t g θ 2

d s = 1 2 sec 2 ⁡ θ 2 d θ ⇒ d θ = 2   d s sec 2 ⁡ θ 2 = 2   d s t g 2 θ 2 + 1 = 2   d s s 2 + 1

Agora lembrando das seguintes propriedades trigonométricas:

s e n   x = 2 t g x 2 1 + t g 2 x 2

cos ⁡ x = 1 - t g 2 x 2 1 + t g 2 x 2

sec ⁡ x = 1 + t g 2 x 2 1 - t g 2 x 2

t g   x = 2 t g x 2 1 - t g 2 x 2

Com isso temos que:

2 ∫ sec ⁡ θ 3   t g θ - 1 d θ = 2 ∫ 1 + t g 2 θ 2 1 - t g 2 θ 2 3   2 t g θ 2 1 - t g 2 θ 2 - 1 d θ

= 2 ∫ 1 + s 2 1 - s 2 3   2 s 1 - s 2 - 1 2   d s s 2 + 1

= 4 ∫ d s 1 - s 2 2 3   s 1 - s 2 - 1 d s

= 4 ∫ d s 2 3   s + s 2 - 1

Para simplificar vamos completar quadrados no denominador assim:

2 3   s + s 2 - 1 = 2 3   s + s 2 - 1 + 3 - 3 = s + 3 2 - 4

Então:

4 ∫ d s 2 3   s + s 2 - 1 = 4 ∫ d s s + 3 2 - 4

Passo 4

Agora iremos fazer o que? Mais uma substituição da forma:

p = s + 3

d p = d s

Assim nossa integral fica:

4 ∫ d s s + 3 2 - 4 = 4 ∫ d p p 2 - 4

Agora sim temos algo que nos agrade, você percebe isso se lembrar que:

∫ d x x 2 - a 2 = 1 2 a ln ⁡ u - a u + a + c

Então da nossa integral temos que:

4 ∫ d p p 2 - 4 = 4 1 2 ⋅ 2 ln ⁡ p - 2 p + 2

= ln ⁡ p - 2 p + 2

Passo 5

Agora para acharmos o resultado final temos que retroceder as substituições feitas.

p = s + 3

ln ⁡ p - 2 p + 2 = ln ⁡ s + 3 - 2 s + 3 + 2

s = t g θ 2

ln ⁡ s + 3 - 2 s + 3 + 2 = ln ⁡ t g θ 2 + 3 - 2 t g θ 2 + 3 + 2

u = 1 2 3   t g θ ⇒ θ = a r c t g 2 u 3

ln ⁡ t g θ 2 + 3 - 2 t g θ 2 + 3 + 2 = ln ⁡ t g a r c t g 2 u 3 2 + 3 - 2 t g a r c t g 2 u 3 2 + 3 + 2

u = x + 1 2

ln ⁡ t g a r c t g 2 u 3 2 + 3 - 2 t g a r c t g 2 u 3 2 + 3 + 2 = ln ⁡ t g a r c t g 2 x + 1 3 2 + 3 - 2 t g a r c t g 2 x + 1 3 2 + 3 + 2

= ln ⁡ t g a r c t g 2 x + 1 3 2 + 3 - 2 - ln ⁡ t g a r c t g 2 x + 1 3 2 + 3 + 2

Resposta

∫ 1 x x 2 + x + 1 d x =

= ln ⁡ t g a r c t g 2 x + 1 3 2 + 3 - 2 - ln ⁡ t g a r c t g 2 x + 1 3 2 + 3 + 2 + c

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