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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 47

Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

47 . ∫ x 2 s e n - 1 x   d x

Passo 1

Primeiro vamos nos atentar que:

s e n - 1 x = a r c s e n   x

Para o começo da solução iremos ter que usar integral por partes.

∫ f   g ' d x = f ⋅ g - ∫ f ' g   d x

Onde:

f = a r c s e n   x           d g = x 2

d f = 1 1 - x 2 d x           g = x 3 3

Nossa integral fica:

∫ x 2 s e n - 1 x = x 3 3 ⋅ a r c s e n   x - ∫ x 3 3 ⋅ 1 1 - x 2 d x

= x 3 3 ⋅ a r c s e n   x - 1 3 ∫ x 3 1 - x 2 d x

Passo 2

Agora vamos resolver a integral separadamente e depois juntamos tudo.

Para continuarmos a integrar, vamos fazer uma substituição para nos ajudar.

u = x 2

d u = 2 x   d x ⇒ d u 2 = x   d x

Aplicando a integral temos:

∫ x 3 1 - x 2 d x = 1 2 ∫ u 1 - u d u

Passo 3

Agora vamos fazer outra substituição para facilitar ainda mais nossas contas.

s = 1 - u

d s = - d u ⇒ - d s = d u

Logo:

1 2 ∫ u 1 - u d u = - 1 2 ∫ 1 - s s d s

= - 1 2 ∫ 1 s d s - ∫ s s d s

= - 1 2 ∫ 1 s d s - ∫ s   d s

= - 1 2 ∫ s - 1 2 d s - ∫ s 1 2 d s

= - 1 2 2 s 1 2 - 2 3 s 3 2

= - s 1 2 + 1 3 s 3 2

Agora para obter a resposta real, basta retroceder a substituição feita

s = 1 - u

- s 1 2 + 1 3 s 3 2 = - 1 - u 1 2 + 1 3 1 - u 3 2 = - 1 - u + 1 3 1 - u 3 2

Assim:

1 2 ∫ u 1 - u d u = - 1 - u + 1 3 1 - u 3 2

Passo 4

Agora para voltar a variável original, vamos retroceder a substituição feita mais uma vez.

u = x 2

- 1 - u + 1 3 1 - u 3 2 = - 1 - x 2 + 1 3 1 - x 2 3 2

Assim:

∫ x 3 1 - x 2 d x = - 1 - x 2 + 1 3 1 - x 2 3 2

Passo 5

Agora jogamos o que obteve no passo 4 no que tínhamos no passo 1 e ficamos com:

x 3 3 ⋅ a r c s e n   x - 1 3 ∫ x 3 1 - x 2 d x = x 3 3 ⋅ a r c s e n   x - 1 3 - 1 - x 2 + 1 3 1 - x 2 3 2

= x 3 3 ⋅ a r c s e n   x + 1 - x 2 3 - 1 - x 2 3 2 9

Resposta

∫ x 2 s e n - 1 x   d x = x 3 3 ⋅ a r c s e n   x + 1 - x 2 3 - 1 - x 2 3 2 9 + c

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