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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.8 - Ex. 5

Expresse a integral indefinida em termos de uma função hiperbólica inversa e como um logaritmo natural.

∫ 1 9 x 2 - 16   d x

Passo 1

A questão pede para expressarmos a integral em termos de funções hiperbólicas. Note que não é pedido para calcularmos a integral, devemos apenas expressar o resultado em termos das funções hiperbólicas. Para isso, você precisa dar uma olhada no teorema 9.8.4.

Neste caso, temos

I = ∫ 1 9 x 2 - 16   d x

Se olharmos no teorema 9.8.4 vamos encontrar a fórmula

∫ 1 a 2 - u 2   d u = 1 a tanh - 1 ⁡ u a + C ,         s e   u < a 1 a c o t a n h - 1 u a + C ,         s e   u > a   = 1 2 a ln ⁡ a + u a - u + C

Antes de usarmos essa fórmula precisamos brincar um pouco com a integral:

I = - ∫ 1 16 - 9 x 2   d x = - ∫ 1 16 - 3 x 2   d x

Agora vamos fazer a substituição u = 3 x com d u = 3   d x :

I = - 1 3 ∫ 1 16 - u 2   d u

Passo 2

Agora sim podemos usar a fórmula do teorema 9.8.4 com a = 4 :

I = - 1 12 tanh - 1 ⁡ u 4 + C ,         s e   u < 4 - 1 12 c o t a n h - 1 u 4 + C ,         s e   u > 4   = - 1 24 ln ⁡ 4 + u 4 - u + C

Voltando para variável x com u = 3 x :

I = - 1 12 tanh - 1 ⁡ 3 x 4 + C ,         s e   x < 4 3 - 1 12 c o t a n h - 1 3 x 4 + C ,         s e   x > 4 3   = - 1 24 ln ⁡ 4 + 3 x 4 - 3 x + C

Resposta

- 1 12 tanh - 1 ⁡ 3 x 4 + C ,         s e   x < 4 3 - 1 12 c o t a n h - 1 3 x 4 + C ,         s e   x > 4 3   = - 1 24 ln ⁡ 4 + 3 x 4 - 3 x + C

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É dada informação sobre o movimento de uma partícula ao longo de um eixo. (a) Use um CAS para encontrar a função posição da partícula com t≥0 . (b) Faça o gráfico da curva posição versus tempo. a t =
É dada informação sobre o movimento de uma partícula ao longo de um eixo. (a) Use um CAS para encontrar a função posição da partícula com t≥0 . (b) Faça o gráfico da curva posição versus tempo. v t =