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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.2 - Ex. 5

Calcule a integral.

int s e n^2 (pi x) cos^5 ( pi x ) d x

Passo 1

Devemos calcular a integral dada usando propriedades de funções trigonométricas e a regra da substituição. Vamos começar simplificando o argumento das funções trigonométricas fazendo t = pi x , de modo que d t = pi d x . Desta forma, temos que d x = d t // pi . Assim, a integral fica:

int s e n^2 (pi x) cos^5 ( pi x ) d x = (1)/(pi) int s e n^2 t cos^5 t d t

Agora vamos separar cos^5 t = cos^4 t cos t = (1 - s e n^2 t)^2 cos t :

int s e n^2 (pi x) cos^5 ( pi x ) d x = (1)/(pi) int s e n^2 t (1 - s e n^2 t)^2 cos t d t

Como a derivada do seno é cosseno, vamos fazer a substituição u = s e n t . Assim, d u = cos t d t .

Passo 2

Fazendo a substituição u = s e n t , a integral fica

int s e n^2 (pi x) cos^5 ( pi x ) d x = (1)/(pi) int u^2 (1 - u^2)^2 d u = (1)/(pi) int u^2 (1 - 2 u^2 + u^4) d u

Assim,

int s e n^2 (pi x) cos^5 ( pi x ) d x = (1)/(pi) int (u^2 - 2 u^4 + u^6) d u

Passo 3

Calculando a integral:

int s e n^2 (pi x) cos^5 ( pi x ) d x = (1)/(pi) ((u^3)/(3) - (2 u^5)/(5) + (u^7)/(7)) + C

Voltando a variável original com u = s e n ( pi x ) :

int s e n^2 (pi x) cos^5 ( pi x ) d x = (1)/(pi) ((1)/(3) s e n^3 (pi x) - (2)/(5) s e n^5 (pi x) + (1)/(7) s e n^7 (pi x)) + C

Resposta

(1)/(pi) ((1)/(3) s e n^3 (pi x) - (2)/(5) s e n^5 (pi x) + (1)/(7) s e n^7 (pi x)) + C

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