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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.8 - Ex. 19

Calcule a integral definida e expresse a resposta em termos de um logaritmo natural.

∫ - 1 / 2 1 / 2 1 1 - x 2   d x

Passo 1

O exercício pede para calcularmos a integral definida e expressar a resposta em termos de um logaritmo natural. Note que essa é uma clássica integral que pode ser resolvida usando frações parciais. Todavia, a ideia do capítulo é que você use fórmulas prontas para calcular as integrais. Essas fórmulas prontas estão no teorema 9.8.4 desta seção do livro.

Neste caso, vamos usar a fórmula

∫ 1 a 2 - u 2   d u = 1 2 a ln ⁡ a + u a - u + C

Passo 2

Usando a fórmula com a = 1 :

I = ∫ - 1 / 2 1 / 2 1 1 - x 2   d x = 1 2 ln ⁡ 1 + x 1 - x - 1 / 2 1 / 2

Logo,

I = 1 2 ln ⁡ 3 / 2 1 / 2 - ln ⁡ 1 / 2 3 / 2 = 1 2 ln ⁡ 3 - ln ⁡ 1 3 = 1 2 ln ⁡ 3 + ln ⁡ 3

Portanto,

I = ln ⁡ 3

Resposta

ln ⁡ 3

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