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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.8 - Ex. 11

Expresse a integral indefinida em termos de uma função hiperbólica inversa e como um logaritmo natural.

∫ 1 2 - 4 x - x 2   d x

Passo 1

A questão pede para expressarmos a integral em termos de funções hiperbólicas. Note que não é pedido para calcularmos a integral, devemos apenas expressar o resultado em termos das funções hiperbólicas. Para isso, você precisa dar uma olhada no teorema 9.8.4.

Neste caso, temos

I = ∫ 1 2 - 4 x - x 2   d x

Se olharmos no teorema 9.8.4 vamos encontrar a fórmula

∫ 1 a 2 - u 2   d u = 1 a tanh - 1 ⁡ u a + C ,         s e   u < a 1 a c o t a n h - 1 u a + C ,         s e   u > a   = 1 2 a ln ⁡ a + u a - u + C

Mas não podemos usar essa fórmula ainda: primeiro devemos reescrever a integral de uma forma análoga ao que está escrito na fórmula. Para isso precisamos completar quadrados no denominador:

2 - 4 x - x 2 = - x 2 - 4 x - 4 + 4 + 2 = 6 - x 2 + 4 x + 4 = 6 - x + 2 2

Assim,

I = ∫ 1 6 - x + 2 2   d x

Fazendo a substituição u = x + 2 , temos que

I = ∫ 1 6 - u 2   d u

Passo 2

Agora sim podemos usar a fórmula do teorema 9.8.4 com a = 6 :

I = 1 6 tanh - 1 ⁡ u 6 + C ,         s e   u < 6 1 6 c o t a n h - 1 u 6 + C ,         s e   u > 6   = 1 2 6 ln ⁡ 6 + u 6 - u + C

Por fim, voltando a variável x com u = x + 2 :

I = 1 6 tanh - 1 ⁡ x + 2 6 + C ,         s e   x + 2 < 6 1 6 c o t a n h - 1 x + 2 6 + C ,         s e   x + 2 > 6   = 1 2 6 ln ⁡ 6 + x + 2 6 - x - 2 + C

Resposta

1 6 tanh - 1 ⁡ x + 2 6 + C ,         s e   x + 2 < 6 1 6 c o t a n h - 1 x + 2 6 + C ,         s e   x + 2 > 6   = 1 2 6 ln ⁡ 6 + x + 2 6 - x - 2 + C

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