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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.2 - Ex. 9

Calcule a integral.

int cos^4 t d t

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

É pedido que calculemos a integral indefinida do cosseno elevado à quarta.

int cos^4 t d t

Para isso, vamos quebrar cos^4 t = (cos^2 t)^2 . Além disso, lembrando do arco duplo:

cos 2 t = cos^2 t - s e n^2 t = cos^2 t - (1 - cos^2 t)

cos 2 t = 2 cos^2 t - 1

Assim,

cos^2 t = (1 + cos 2 t)/(2)

Veja só!

Passo 2

Desta forma, a integral fica

int cos^4 t d t = int ((1 + cos 2 t)/(2))^2 d t = (1)/(4) int (1 + 2 cos 2 t + cos^2 2 t) d t

Por outro lado, aplicando o arco duplo novamente:

cos^2 2 t = (1 + cos 4 t)/(2)

Assim,

int cos^4 t d t = (1)/(4) int (1 + 2 cos 2 t + (1)/(2) + (1)/(2) cos 4 t) d t

int cos^4 t d t = (1)/(4) int ((3)/(2) + 2 cos 2 t + (1)/(2) cos 4 t) d t

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Calculando a integral:

int cos^4 t d t = (1)/(4) ((3)/(2) t + s e n 2 t + (1)/(8) s e n 4 t) + C

int cos^4 t d t = (3)/(8) t + (1)/(4) s e n 2 t + (1)/(32) s e n 4 t + C

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

(3)/(8) t + (1)/(4) s e n 2 t + (1)/(32) s e n 4 t + C

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