Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.8 - Ex. 17
Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação com precisão de seis casas decimais.
Passo 1
Fala aí, eu sou o Rafha do Responde Aí e vou te ajudar aqui.
Nessa questão temos a seguinte equação:
E queremos encontrar todas as raízes da equação com precisão de seis casas decimais.
Para isso vamos usar um método iterativo que é o método de Newton.
Basicamente, nós começamos com um chute inicial para essa raiz.
E para encontrar o próximo valor, faremos a seguinte iteração:
O enunciado pede para encontrarmos a raíz com uma precisão de seis casas decimais. Bora lá?
Passo 2
Vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:
O enunciado nos dá a equação
Que pode ser reescrita na forma:
Logo,
Temos então que
Vamos agora precisar de , vamos calcular então!!
Passo 3
Para achar a derivada de vamos usar duas regras de derivação, o da função constante e do polinômio:
Vamos calcular :
Passo 4
Pronto, agora que temos é só jogar na fórmula de Newton:
Vamos agora analisar qual valor usar para .
Como a questão não nos deu qual valor utilizar para o chute inicial, nós podemos seguir a seguinte estratégia.
Queremos encontrar os valores de onde:
Isso ocorre quando:
O gráfico de é um gráfico conhecido, assim como o gráfico de .
Eu vou esboçar ambos os gráficos e ver em quais pontos eles se interceptam, esses são os pontos onde e portanto, as raízes da nossa equação.
Dessa forma, vemos que as raízes estão próximas de e , que são os pontos onde os gráficos se interceptam.
Passo 5
Primeiro para :
Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de deixar de variar, vamos lá:
Mais uma vez, agora com :
Vamos lá, uma hora acaba, agora :
Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é .
Passo 6
Agora com , sei que é cansativo mas vamos lá:
Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de deixar de variar, vamos lá:
Mais uma vez, agora com :
Vamos lá, uma hora acaba, agora :
Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é .
Resposta
As raizes da equação são e .