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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.2 - Ex. 10

Calcule a integral.

int_0^(pi) s e n^2 t cos^4 t d t

Passo 1

Olá, nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui iremos basicamente integrar a função dada no intervalo dado.

Como só temos expoentes pares nas funções trigonométricas, precisamos recorrer as fórmulas de arco duplo para simplificar a expressão.

s e n^2 t = (1 - cos 2 t)/(2)

cos^2 t = (1 + cos 2 t)/(2)

Passo 2

Assim,

int_0^(pi) s e n^2 t cos^4 t d t = int_0^(pi) s e n^2 t (cos^2 t)^2 d t

= int_0^(pi) ((1 - cos 2 t)/(2)) ((1 + cos 2 t)/(2))^2 d t

Desta forma,

int_0^(pi) s e n^2 t cos^4 t d t

= (1)/(8) int_0^(pi) (1 - cos 2 t) ( 1 + 2 cos 2 t + cos^2 2 t ) d t

Desenvolvendo um pouco mais:

int_0^(pi) s e n^2 t cos^4 t d t

= (1)/(8) int_0^(pi) (1 + cos 2 t - cos^2 2 t - cos^3 2 t) d t

Assim,

int_0^(pi) (1)/(8) d t = (pi)/(8)

e

int_0^(pi) s e n^2 t cos^4 t d t

= (pi)/(8) + (1)/(8) int_0^(pi) cos 2 t d t - (1)/(8) int_0^(pi) cos^2 2 t d t - (1)/(8) int_0^(pi) cos^3 2 t d t

Passo 3

Observe que uma das integrais se anula:

int_0^(pi) cos 2 t d t

= [(1)/(2) s e n 2 t]_0^(pi)

= (1)/(2) (s e n 2 pi - s e n 0) = 0

Analogamente,

int_0^(pi) cos^3 2 t d t

= (1)/(2) int_0^(2 pi) cos^3 u d u

= (1)/(2) int_0^(2 pi) (1 - s e n^2 u) cos u d u

= (1)/(2) int_0^0 (1 - y^2) d y = 0

Na integral acima, primeiro fiz u = 2 t e em seguida y = s e n u , d y = cos u d u

Passo 4

Assim, já temos que

int_0^(pi) s e n^2 t cos^4 t d t

= (pi)/(8) - (1)/(8) int_0^(pi) cos^2 2 t d t

Resta então calcular a integral de cos^2 2 t .

Lembrando a fórmula do arco dobro:

cos^2 2 t = (1 + cos 4 t)/(2)

Assim,

int_0^(pi) cos^2 2 t d t

= (1)/(2) int_0^(pi) (1 + cos 4 t) d t

= (1)/(2) [t + (1)/(4) s e n 4 t]_0^(pi)

= (pi)/(2)

Desta forma,

int_0^(pi) s e n^2 t cos^4 t d t = (pi)/(8) - (1)/(8) * (pi)/(2) = (pi)/(8) - (pi)/(16) = (pi)/(16)

Resposta

(pi)/(16)

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