Calcule a integral.

∫ 0 π s e n 2 t cos 4 ⁡ t   d t

Passo 1

Olá, nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui iremos basicamente integrar a função dada no intervalo dado.

Como só temos expoentes pares nas funções trigonométricas, precisamos recorrer as fórmulas de arco duplo para simplificar a expressão.

s e n 2 t = 1 - cos ⁡ 2 t 2

cos 2 ⁡ t = 1 + cos ⁡ 2 t 2

Passo 2

Assim,

∫ 0 π s e n 2 t cos 4 ⁡ t   d t = ∫ 0 π s e n 2 t   cos 2 ⁡ t 2   d t

= ∫ 0 π 1 - cos ⁡ 2 t 2 1 + cos ⁡ 2 t 2 2   d t  

Desta forma,

∫ 0 π s e n 2 t cos 4 ⁡ t   d t

= 1 8 ∫ 0 π 1 - cos ⁡ 2 t   ( 1 + 2 cos ⁡ 2 t + cos 2 ⁡ 2 t )   d t

Desenvolvendo um pouco mais:

∫ 0 π s e n 2 t cos 4 ⁡ t   d t

= 1 8 ∫ 0 π 1 + cos ⁡ 2 t - cos 2 ⁡ 2 t - cos 3 ⁡ 2 t d t

Assim,

∫ 0 π 1 8 d t = π 8

e

∫ 0 π s e n 2 t cos 4 ⁡ t   d t

= π 8 + 1 8 ∫ 0 π cos ⁡ 2 t   d t - 1 8 ∫ 0 π cos 2 ⁡ 2 t   d t - 1 8 ∫ 0 π cos 3 ⁡ 2 t   d t

Passo 3

Observe que uma das integrais se anula:

∫ 0 π cos ⁡ 2 t   d t

= 1 2 s e n   2 t 0 π

= 1 2 s e n   2 π - s e n   0 = 0

Analogamente,

∫ 0 π cos 3 ⁡ 2 t d t

= 1 2 ∫ 0 2 π cos 3 ⁡ u d u

= 1 2 ∫ 0 2 π 1 - s e n 2 u cos ⁡ u d u

= 1 2 ∫ 0 0 1 - y 2   d y = 0

Na integral acima, primeiro fiz u = 2 t e em seguida y = s e n   u , d y = cos ⁡ u d u

Passo 4

Assim, já temos que

∫ 0 π s e n 2 t cos 4 ⁡ t d t

= π 8 - 1 8 ∫ 0 π cos 2 ⁡ 2 t   d t

Resta então calcular a integral de cos 2 ⁡ 2 t .

Lembrando a fórmula do arco dobro:

cos 2 ⁡ 2 t = 1 + cos ⁡ 4 t 2

Assim,

∫ 0 π cos 2 ⁡ 2 t   d t

= 1 2 ∫ 0 π 1 + cos ⁡ 4 t   d t

= 1 2 t + 1 4 s e n   4 t 0 π

= π 2

Desta forma,

∫ 0 π s e n 2 t cos 4 ⁡ t   d t = π 8 - 1 8 ⋅ π 2 = π 8 - π 16 = π 16

Resposta

π 16

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